ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Будем решать задачу графически на плоскости $(x;y)$.

Рассмотрим второе уравнение. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому $x-1⩾0$. При этом условии обе части можно возвести в квадрат:

$$x-1=\sqrt{y+4}⟺\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2=y+4,\\ x-1⩾0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}y=(x-1{)}^2-4,\\ x⩾1.\end{array}$$

Условие $y+4⩾0$ здесь выполнено само, так как $y+4=(x-1{)}^2$. Уравнение $y=(x-1{)}^2-4$ задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной $A(1;-4)$, а условие $x⩾1$ оставляет от неё правую ветвь вместе с вершиной.

Найдём пересечения параболы с осью $Ox$: $(x-1{)}^2=4$, $x-1=\pm 2$, $x=-1$ или $x=3$. На правой ветви лежит только точка $(3;0)$. Заметим ещё, что на ветви $y<0$ при $1⩽x<3$ и $y⩾0$ при $x⩾3$.

Рассмотрим первое уравнение и раскроем модуль при $y$.

При $y⩾0$ получаем $|x|-y=a$, то есть $y=|x|-a$. Это уголок с ветвями вверх и вершиной $F_1(0;-a)$; от него берём часть, лежащую в полуплоскости $y⩾0$.

При $y<0$ получаем $|x|+y=a$, то есть $y=-|x|+a$. Это уголок с ветвями вниз и вершиной $F_2(0;a)$; от него берём часть в полуплоскости $y<0$.

Стороны обоих уголков параллельны прямым $y=x$ и $y=-x$. Вид множества зависит от того, как расположены вершины $F_1$ и $F_2$.

При $a<0$ вершина $F_1(0;-a)$ лежит выше оси $Ox$, а $F_2(0;a)$ — ниже. Верхний уголок целиком лежит в полуплоскости $y>0$, нижний — в полуплоскости $y<0$, и оба берутся целиком.

При $a=0$ вершины совпадают с началом координат, и уравнение $|y|=|x|$ задаёт пару прямых $y=x$ и $y=-x$.

При $a>0$ вершина $F_1(0;-a)$ ниже оси, $F_2(0;a)$ — выше. От каждого уголка остаются только лучи, выходящие из точек $(a;0)$ и $(-a;0)$: множество — четыре луча, точек с $|x|<a$ в нём нет.

Теперь найдём общие точки этого множества с ветвью параболы. На ветви $x⩾1>0$, поэтому с ней могут пересекаться только правые стороны уголков, где $|x|=x$: верхняя $y=x-a$ и нижняя $y=a-x$. Подставим $y=(x-1{)}^2-4$:

$$(x-1{)}^2-4=x-a⟺p(x)=x^2-3x-3+a=0;$$

$$(x-1{)}^2-4=a-x⟺q(x)=x^2-x-3-a=0.$$

Вершины парабол $y=p(x)$ и $y=q(x)$ имеют абсциссы $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{2}$, поэтому $q$ возрастает на $[1;+\infty )$, а $p$ — на $\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Случай $a⩽0$.

Верхний уголок берётся целиком. Так как $p(1)=a-5<0$, у трёхчлена $p$ ровно один корень больше $1$ (второй корень меньше $1$). В этой точке $y=x-a>0$, так что она действительно лежит на верхнем уголке. Значит, верхний уголок всегда даёт ровно одну общую точку.

Нижний уголок тоже берётся целиком (при $a=0$ для $x⩾1$ имеем $y=-x<0$). Имеем $q(1)=-3-a$, и $q$ возрастает при $x⩾1$.

Если $a>-3$, то $q(1)<0$, и корень $q$ на $[1;+\infty )$ ровно один — ещё одна общая точка.

Если $a=-3$, то $q(1)=0$: правая сторона нижнего уголка $y=-x-3$ проходит через вершину $A(1;-4)$. Это положение I: $-4=-1+a$, $a=-3$. Общая точка одна — сама точка $A$.

Если $a<-3$, то $q(1)>0$, и корней на $[1;+\infty )$ нет.

Точки на верхнем и нижнем уголках различны (у первой $y>0$, у второй $y<0$). Поэтому при $-3⩽a⩽0$ решений два, а при $a<-3$ — одно.

Случай $a>0$.

Левые лучи (при $x⩽-a<0$) с ветвью не пересекаются. Верхний правый луч $y=x-a$, $x⩾a$, лежит в полуплоскости $y⩾0$, а там ветвь параболы задаётся условием $x⩾3$. Имеем $p(3)=a-3$, и $p$ возрастает при $x⩾3$.

Если $a<3$, то $p(3)<0$, и есть ровно один корень $x>3$; в нём $y=x-a>0$, так что точка лежит на луче.

Если $a=3$, корень $x=3$ — это точка $(3;0)$. Если $a>3$, корней при $x⩾3$ нет.

Нижний правый луч $y=a-x$, $x>a$, лежит в полуплоскости $y<0$, а там ветвь задаётся условием $1⩽x<3$. Имеем $q(1)=-3-a<0$ и $q(3)=3-a$.

Если $a<3$, то $q(3)>0$, и на $(1;3)$ ровно один корень; в нём $y<0$, то есть $a-x<0$ и $x>a$ — точка лежит на луче.

Если $a⩾3$, то $q(3)⩽0$, и корней на $[1;3)$ нет.

Положение II — «стык» правых лучей, точка $(a;0)$, совпадает с точкой $(3;0)$: $a=3$. Итак, при $0<a<3$ решений два, при $a=3$ — одно, при $a>3$ — ни одного.

Граничные положения I ($a=-3$) и II ($a=3$) показаны на общем рисунке пунктиром.

Объединяя случаи, получаем $-3⩽a⩽0$ и $0<a<3$, то есть $-3⩽a<3$.

Ответ: $a\in [-3;3)$.