Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Уравнение имеет смысл при
Нас интересуют корни из отрезка . С учётом условия , то есть , корни нужно искать на промежутке .
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Поэтому на отрезке уравнение равносильно совокупности
Решим уравнения. Логарифм равен нулю, когда аргумент равен единице: , .
Подкоренное выражение разложим как разность квадратов:
Оно обращается в ноль при и при .
Итак, кандидаты в корни: , , . Назовём кандидата хорошим, если он удовлетворяет всем условиям своей системы. Число различных корней уравнения на отрезке равно числу различных хороших кандидатов, и оно должно равняться единице.
Найдём, при каких хорош каждый кандидат.
лежит на , и нужно только, чтобы подкоренное выражение в этой точке было неотрицательным:
: подкоренное выражение в нём равно нулю, нужно лишь , то есть .
: аналогично нужно .
Кандидаты могут совпадать: при , при , при .
Отметим на оси точки , , , , и посчитаем различные хорошие кандидаты на каждом участке («+» — хороший, «−» — нет):
Поясним граничные значения. При кандидаты и совпадают и равны , а не лежит на отрезке — корень один. При хороши все три кандидата, но , поэтому различных корней два: и . При кандидаты хороши, а вне отрезка — корень один. При кандидат не подходит из-за строгого неравенства , а уже плох — корней нет. При аналогично отпадает .
Ровно один корень получается при и при :
Ответ: .