ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты уравнения. Число $x=-1$ — корень многочлена $x^3+x+2$: $-1-1+2=0$. Разделив на $x+1$, получим

$$x^3+x+2=(x+1)\left(x^2-x+2\right).$$

Свободный член: $-x^4+x^3+2x^2=-x^2\left(x^2-x-2\right)=-x^2(x+1)(x-2)$.

Подставим разложения и вынесем общий множитель $x+1$:

$$(x+1)\left(a^2+\left(x^2-x+2\right)a-x^2(x-2)\right)=0.$$

Выражение во второй скобке — квадратный трёхчлен относительно $a$. По теореме, обратной теореме Виета, его корни — числа с суммой $-\left(x^2-x+2\right)$ и произведением $-x^2(x-2)$. Подходят $a_1=x-2$ и $a_2=-x^2$: их сумма $x-2-x^2=-\left(x^2-x+2\right)$, произведение $-x^2(x-2)$. Значит,

$$a^2+\left(x^2-x+2\right)a-x^2(x-2)=(a-x+2)\left(a+x^2\right),$$

и уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=-1,\\ a=x-2,\\ a=-x^2.\end{array}$$

Ограничений на $x$ нет: уравнение многочленное.

Будем решать задачу графически на плоскости $(x;a)$. Уравнение $x=-1$ задаёт вертикальную прямую, $a=x-2$ — прямую с угловым коэффициентом $1$, $a=-x^2$ — параболу с ветвями вниз и вершиной $(0;0)$.

Найдём точки пересечения графиков. Прямые $x=-1$ и $a=x-2$: $a=-3$, точка $(-1;-3)$. Прямая $x=-1$ и парабола: $a=-(-1{)}^2=-1$, точка $(-1;-1)$. Прямая $a=x-2$ и парабола: $x-2=-x^2$, $x^2+x-2=0$, $(x+2)(x-1)=0$ — точки $(-2;-4)$ и $(1;-1)$.

При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы общих точек горизонтальной прямой на высоте $a$ с построенным множеством. Горизонтальная прямая всегда пересекает прямую $x=-1$ (корень $x=-1$) и прямую $a=x-2$ (корень $x=a+2$), а параболу — только при $a⩽0$ (корни $x=\pm \sqrt{-a}$).

Граничные положения — прямая через вершину параболы ($a=0$) и прямая через точки $(-1;-1)$ и $(1;-1)$ ($a=-1$). На рисунке они показаны пунктиром, вертикальная ось — ось $a$.

Разберём все случаи.

При $a>0$ корни: $x=-1$ и $x=a+2>2$. Они различны, корней два. Подходит.

При $a=0$ корни: $-1$, $2$ и $0$ (касание параболы в вершине) — три. Не подходит.

При $a<0$ кандидатов четыре: $-1$, $a+2$, $\sqrt{-a}$, $-\sqrt{-a}$, причём $\sqrt{-a}\ne -\sqrt{-a}$. Найдём, когда какие-то из них совпадают.

$a+2=-1$ при $a=-3$. Тогда корни $-1$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$ — их три.

$-\sqrt{-a}=-1$ при $a=-1$. Тогда $\sqrt{-a}=1$ и $a+2=1$, то есть совпадают сразу две пары: корни только $-1$ и $1$ — два.

$a+2=\pm \sqrt{-a}$ означает $(a+2{)}^2=-a$, то есть $a^2+5a+4=0$, $a=-1$ или $a=-4$. Случай $a=-1$ уже разобран. При $a=-4$ корни $-1$, $2$, $-2$ (корень $a+2=-2$ совпал с $-\sqrt{4}$) — три.

При остальных $a<0$ все четыре числа различны — корней четыре.

Итак, ровно два корня уравнение имеет при $a=-1$ и при $a>0$.

Ответ: $a\in \{-1\}\cup (0;+\infty )$.