ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Найдём ограничения: подкоренное выражение неотрицательно, $10-x-y⩾0$, то есть $y⩽10-x$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а оба множителя имеют смысл. Поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=|x+2|+|x-1|,\\ y⩽10-x,\end{array}\\ y=10-x.\end{array}$$

Во второй строке ограничение выполнено само: там $10-x-y=0$.

Будем решать задачу графически на плоскости $(x;y)$. Раскроем модули в функции $f(x)=|x+2|+|x-1|$. Нули подмодульных выражений: $x=-2$ и $x=1$.

При $x⩽-2$ оба выражения неположительны: $f(x)=-(x+2)-(x-1)=-2x-1$.

При $-2<x<1$ первое выражение положительно, второе отрицательно: $f(x)=(x+2)-(x-1)=3$.

При $x⩾1$ оба неотрицательны: $f(x)=(x+2)+(x-1)=2x+1$.

График $f$ — ломаная с изломами в точках $(-2;3)$ и $(1;3)$.

Выясним, какая часть ломаной лежит не выше прямой $y=10-x$. Рассмотрим разность $f(x)-(10-x)$ на каждом промежутке.

При $x⩽-2$: $-2x-1-10+x=-x-11⩽0⟺x⩾-11$.

При $-2<x<1$: $3-10+x=x-7<0$ — верно на всём промежутке.

При $x⩾1$: $2x+1-10+x=3x-9⩽0⟺x⩽3$.

Значит, условию $y⩽10-x$ удовлетворяет часть ломаной при $-11⩽x⩽3$. Её концы $(-11;21)$ и $(3;7)$ лежат на прямой $y=10-x$: $f(-11)=21=10-(-11)$, $f(3)=7=10-3$. Других общих точек ломаной и этой прямой нет.

Итак, первое уравнение задаёт прямую $y=10-x$ и три звена ломаной: от $(-11;21)$ до $(-2;3)$, от $(-2;3)$ до $(1;3)$ и от $(1;3)$ до $(3;7)$.

Второе уравнение $y=x+a$ задаёт семейство прямых с угловым коэффициентом $1$. Число решений системы равно числу общих точек прямой $y=x+a$ с построенным множеством.

С прямой $y=10-x$ прямая $y=x+a$ пересекается всегда, причём ровно в одной точке: угловые коэффициенты $1$ и $-1$ различны. Это точка с абсциссой $x=\frac{10-a}{2}$.

Найдём общие точки прямой $y=x+a$ с каждым звеном. Ни одно звено ей не параллельно (угловые коэффициенты звеньев $-2$, $0$, $2$), поэтому с каждым звеном общих точек не больше одной.

Левое звено $y=-2x-1$, $-11⩽x⩽-2$: из $x+a=-2x-1$ получаем $x=-\frac{a+1}{3}$; условие $-11⩽-\frac{a+1}{3}⩽-2$ равносильно $5⩽a⩽32$.

Среднее звено $y=3$, $-2⩽x⩽1$: $x=3-a$; условие $-2⩽3-a⩽1$ равносильно $2⩽a⩽5$.

Правое звено $y=2x+1$, $1⩽x⩽3$: из $x+a=2x+1$ получаем $x=a-1$; условие $1⩽a-1⩽3$ равносильно $2⩽a⩽4$.

Характерные положения прямой — прохождение через точки излома и концы звеньев: через $(1;3)$ при $3=1+a$, то есть $a=2$; через $(3;7)$ при $7=3+a$, $a=4$; через $(-2;3)$ при $a=5$; через $(-11;21)$ при $21=-11+a$, $a=32$. Положения $a=2$, $a=4$ и $a=32$, на которых меняется ответ, показаны пунктиром; тонкой линией — часть ломаной, не входящая в множество.

Подсчитаем решения при всех $a$.

При $a<2$ прямая не пересекает ни одного звена. Решение одно — точка на прямой $y=10-x$. Не подходит.

При $a=2$ прямая проходит через излом $(1;3)$: среднее и правое звенья дают одну и ту же точку. Вместе с точкой $(4;6)$ на прямой $y=10-x$ решений два. Подходит.

При $2<a<4$ есть точка на среднем звене ($x=3-a\in (-1;1)$) и точка на правом ($x=a-1\in (1;3)$). Они различны и не лежат на прямой $y=10-x$, так как не являются концами $(-11;21)$ и $(3;7)$. Вместе с точкой на прямой $y=10-x$ решений три. Не подходит.

При $a=4$ среднее звено даёт точку $(-1;3)$, правое — точку $(3;7)$. Точка $(3;7)$ лежит на прямой $y=10-x$, и это как раз точка пересечения с ней: $x=\frac{10-4}{2}=3$. Различных решений два. Подходит.

При $4<a<5$ — только точка на среднем звене, $x=3-a\in (-2;-1)$, и точка на прямой $y=10-x$. Решений два. Подходит.

При $a=5$ прямая проходит через излом $(-2;3)$: левое и среднее звенья дают одну точку. Вместе с точкой на прямой $y=10-x$ решений два. Подходит.

При $5<a<32$ — только точка на левом звене, $x=-\frac{a+1}{3}\in (-11;-2)$; она не совпадает с концом $(-11;21)$. Вместе с точкой на прямой $y=10-x$ решений два. Подходит.

При $a=32$ левое звено даёт точку $(-11;21)$, и она же — точка пересечения с прямой $y=10-x$: $x=\frac{10-32}{2}=-11$. Решение одно. Не подходит.

При $a>32$ прямая не пересекает звеньев. Решение одно. Не подходит.

Объединяя подходящие значения, получаем $a=2$ и $4⩽a<32$.

Ответ: $a\in \{2\}\cup [4;32)$.