ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители левую часть. Вынесем $x$:

$$x^4-7x^3+14x^2-8x=x\left(x^3-7x^2+14x-8\right).$$

Число $x=1$ — корень кубического многочлена: $1-7+14-8=0$. Разделив многочлен на $x-1$, получим

$$x^3-7x^2+14x-8=(x-1)(x^2-6x+8)=(x-1)(x-2)(x-4).$$

В правой части вынесем $5$: $5x^3-35x^2+70x-40=5\left(x^3-7x^2+14x-8\right)$ — это тот же кубический многочлен.

Обозначим $P=x^3-7x^2+14x-8=(x-1)(x-2)(x-4)$. Уравнение принимает вид

$$xP+ax(x-1)=5P+5a(x-1).$$

Слева вынесем $x$, справа $5$ и перенесём всё в одну часть:

$$x(P+a(x-1))-5(P+a(x-1))=0,(x-5)(P+a(x-1))=0.$$

Во второй скобке есть общий множитель $x-1$:

$$P+a(x-1)=(x-1)(x-2)(x-4)+a(x-1)=(x-1)\left(x^2-6x+8+a\right).$$

Значит, уравнение равносильно уравнению

$$(x-1)(x-5)\left(x^2-6x+8+a\right)=0,$$

то есть совокупности

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ x=5,\\ a=-x^2+6x-8.\end{array}$$

Ограничений на $x$ нет: обе части уравнения — многочлены.

Будем решать задачу графически на плоскости $(x;a)$. Уравнения $x=1$ и $x=5$ задают вертикальные прямые. Выделив полный квадрат, получим $a=-x^2+6x-8=-(x-3{)}^2+1$ — это парабола с ветвями вниз и вершиной $(3;1)$.

Парабола пересекает прямую $x=1$ при $a=-(1-3{)}^2+1=-3$, то есть в точке $(1;-3)$, а прямую $x=5$ — при $a=-(5-3{)}^2+1=-3$, в точке $(5;-3)$.

При фиксированном $a$ решения уравнения — это абсциссы общих точек построенного множества с горизонтальной прямой на высоте $a$. Нужно найти положения горизонтальной прямой, при которых различных абсцисс ровно две.

Граничные положения: прямая через вершину параболы ($a=1$) и прямая через точки $(1;-3)$ и $(5;-3)$ ($a=-3$). На рисунке они показаны пунктиром, вертикальная ось — ось $a$.

Разберём все положения прямой.

При $a>1$ прямая проходит выше вершины и с параболой не пересекается. Остаются точки на прямых $x=1$ и $x=5$ — два решения. Эти значения подходят.

При $a=1$ прямая касается параболы в вершине. Решения $x=1$, $x=3$, $x=5$ — их три. Не подходит.

При $a<1$ уравнение $x^2-6x+8+a=0$ имеет два корня $x=3\pm \sqrt{1-a}$. Они совпадают с $1$ или $5$ только при $\sqrt{1-a}=2$, то есть при $a=-3$. Поэтому при $a<1$, $a\ne -3$ решений четыре: $1$, $5$ и $3\pm \sqrt{1-a}$. Не подходит.

При $a=-3$ корни квадратного уравнения равны $3\pm 2$, то есть $1$ и $5$, — они совпадают с уже найденными. Решений два. Значение $a=-3$ подходит.

Ответ: $a\in \{-3\}\cup (1;+\infty )$.