ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Уравнение имеет смысл при всех $x$, для которых определён тангенс, то есть при $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. На отрезке $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ из рассмотрения выпадают точки $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$.

Сделаем замену $t=\mathrm{tg}x+6$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$$t^2-(a^2+2a+8)t+a^2(2a+8)=0.$$

Подберём его корни по теореме, обратной теореме Виета: нужны два числа с суммой $a^2+2a+8$ и произведением $a^2(2a+8)$. Подходят $t_1=2a+8$ и $t_2=a^2$: действительно, $(2a+8)+a^2=a^2+2a+8$ и $(2a+8)\cdot a^2=a^2(2a+8)$. Значит, левая часть раскладывается на множители:

$$(t-2a-8)(t-a^2)=0.$$

Вернёмся к переменной $x$: $\mathrm{tg}x+6=2a+8$ или $\mathrm{tg}x+6=a^2$. Исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=2a+2,\\ \mathrm{tg}x=a^2-6.\end{array}$$

Выясним, сколько решений на отрезке $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет уравнение $\mathrm{tg}x=u$ при данном числе $u$. Без точек $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$ отрезок распадается на два промежутка: $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$ и $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$. На каждом из них тангенс непрерывен и возрастает.

На $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$ тангенс возрастает от $0$ до $+\infty$: каждое значение $u⩾0$ он принимает ровно один раз, а отрицательных значений не принимает. На $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ он возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ и принимает каждое значение ровно один раз.

Итак, при $u⩾0$ уравнение $\mathrm{tg}x=u$ имеет на отрезке два решения: $x=\mathrm{arctg}u$ и $x=\pi +\mathrm{arctg}u$. При $u<0$ решение одно: $x=\pi +\mathrm{arctg}u$ (число $\mathrm{arctg}u$ отрицательно и в отрезок не попадает).

Разным значениям $u$ соответствуют разные $x$: в одной точке тангенс принимает только одно значение. Поэтому число решений исходного уравнения складывается так: каждое из различных чисел $2a+2$ и $a^2-6$ даёт $2$ решения, если оно неотрицательно, и $1$ решение, если оно отрицательно.

Сумма равна двум ровно в двух случаях:

1. числа $2a+2$ и $a^2-6$ совпадают, и это общее значение неотрицательно;

2. числа различны, и оба отрицательны.

Во всех остальных ситуациях решений не два: одно отрицательное значение даёт $1$ решение, два различных значения разных знаков дают $2+1=3$ решения, два различных неотрицательных — $2+2=4$ решения.

Случай 1. Значения совпадают:

$$2a+2=a^2-6⟺a^2-2a-8=0⟺(a-4)(a+2)=0⟺a=4\text{или}a=-2.$$

При $a=4$ получаем одно уравнение $\mathrm{tg}x=10$, и $10⩾0$ — два решения. Значение $a=4$ подходит.

При $a=-2$ получаем $\mathrm{tg}x=-2<0$ — одно решение. Это значение не подходит.

Случай 2. Значения различны ($a\ne 4$, $a\ne -2$) и оба отрицательны:

$$\{\begin{array}{l}2a+2<0,\\ a^2-6<0,\\ a\ne -2,a\ne 4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a<-1,\\ -\sqrt{6}<a<\sqrt{6},\\ a\ne -2,a\ne 4.\end{array}$$

Так как $\sqrt{6}\approx 2,45$, пересечение условий даёт $-\sqrt{6}<a<-1$, $a\ne -2$, то есть $a\in \left(-\sqrt{6};-2\right)\cup (-2;-1)$.

Объединим результаты обоих случаев:

Ответ: $a\in \left(-\sqrt{6};-2\right)\cup (-2;-1)\cup \{4\}$.