ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты. При $x=1$ выражение $x^3-2x^2+3x-2$ равно $1-2+3-2=0$, поэтому

$$x^3-2x^2+3x-2=(x-1)(x^2-x+2).$$

Проверка: $(x-1)(x^2-x+2)=x^3-x^2+2x-x^2+x-2=x^3-2x^2+3x-2$. Кроме того,

$$-x^4+3x^3-2x^2=-x^2\left(x^2-3x+2\right)=-x^2(x-1)(x-2).$$

Уравнение принимает вид

$$(x-1)a^2-(x-1)(x^2-x+2)a-x^2(x-1)(x-2)=0\iff (x-1)\left(a^2-(x^2-x+2)a+x^2(2-x)\right)=0.$$

Рассмотрим выражение в скобках как квадратный трёхчлен относительно $a$. Числа $x^2$ и $2-x$ в сумме дают $x^2-x+2$, а в произведении — $x^2(2-x)$. По теореме, обратной теореме Виета, это корни трёхчлена, и

$$a^2-(x^2-x+2)a+x^2(2-x)=(a-x^2)(a-2+x).$$

Итак, уравнение равносильно $(x-1)(a-x^2)(a+x-2)=0$, то есть совокупности

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ a=x^2,\\ a=2-x.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$: вертикальная прямая $x=1$, парабола $a=x^2$ и прямая $a=2-x$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.

Найдём точки пересечения линий. Парабола и прямая $a=2-x$: $x^2=2-x$, $x^2+x-2=0$, $(x+2)(x-1)=0$ — точки $(-2;4)$ и $(1;1)$. Прямая $x=1$ пересекает параболу в точке $(1;1)$ и прямую $a=2-x$ тоже в точке $(1;1)$: все три линии проходят через неё.

Горизонтальная прямая $a=c$ всегда пересекает прямую $x=1$ в точке $(1;c)$ и прямую $a=2-x$ в точке $(2-c;c)$. Параболу она пересекает в двух точках $(\pm \sqrt{c};c)$ при $c>0$, в одной точке $(0;0)$ при $c=0$ и не пересекает при $c<0$.

На рисунке ниже ось ординат — ось $a$; пунктиром показаны положения $a=1$ и $a=4$, положение $a=0$ совпадает с осью абсцисс.

Подсчитаем различные корни.

• $a<0$: корни $x=1$ и $x=2-a>2$, они различны — два корня.
• $a=0$: корни $1$, $2$ и $0$ — три корня.
• $a>0$: кандидаты $1$, $2-a$, $\sqrt{a}$, $-\sqrt{a}$. Найдём, когда какие-то из них совпадают. $2-a=1$ при $a=1$; $\sqrt{a}=1$ при $a=1$; $-\sqrt{a}=1$ невозможно; $\sqrt{a}=2-a$ равносильно $a+\sqrt{a}-2=0$, $(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)=0$, то есть $a=1$; $-\sqrt{a}=2-a$ равносильно $a-\sqrt{a}-2=0$, $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+1)=0$, то есть $a=4$; $\sqrt{a}=-\sqrt{a}$ только при $a=0$.
• $a=1$: кандидаты $1$, $1$, $1$, $-1$ — два различных корня $1$ и $-1$.
• $a=4$: кандидаты $1$, $-2$, $2$, $-2$ — три различных корня $1$, $2$, $-2$.
• Остальные $a>0$: четыре различных корня.

Ровно два различных корня уравнение имеет при $a<0$ и при $a=1$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \{1\}$.