Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (5x+2|x-a|-|3x|)²+(a-1)(5x+2|x-a|-|3x|)+1=0… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$(5 x + 2∣ x - a ∣ - ∣3 x ∣)^{2} + (a - 1) (5 x + 2∣ x - a ∣ - ∣3 x ∣) + 1 = 0$

имеет ровно два различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим $g (x) = 5 x + 2∣ x - a ∣ - ∣3 x ∣ = 5 x + 2∣ x - a ∣ - 3∣ x ∣$ . Тогда уравнение принимает вид

$u^{2} + (a - 1) u + 1 = 0, u = g (x) . (*)$

Число решений исходного уравнения равно сумме количеств корней уравнения $g (x) = u$ по всем корням $u$ уравнения $(*)$ . Поэтому сначала выясним, сколько решений имеет уравнение $g (x) = u$ . Нули подмодульных выражений — $x = a$ и $x = 0$ ; как раскрываются модули, зависит от того, как расположены эти точки.

1) $a = 0$ . Тогда $g (x) = 5 x + 2∣ x ∣ - 3∣ x ∣ = 5 x - ∣ x ∣$ .

Рисунок к решению

При $x ⩾ 0$ получаем $g (x) = 4 x$ , при $x < 0$ — $g (x) = 6 x$ .

Рисунок к решению

Функция непрерывна, строго возрастает и принимает все действительные значения, поэтому каждое $u$ даёт ровно одно $x$ . Тогда два решения будут, только если $(*)$ имеет два различных корня. Но при $a = 0$ дискриминант $D = (0 - 1)^{2} - 4 = - 3 < 0$ , корней нет. Значение $a = 0$ не подходит.

2) $a > 0$ . Точки $0$ и $a$ расположены так: $0 < a$ .

Рисунок к решению

При $x ⩽ 0$ : $∣ x - a ∣ = a - x$ , $∣ x ∣ = - x$ , и $g (x) = 5 x + 2 a - 2 x + 3 x = 6 x + 2 a$ .
При $0 ⩽ x ⩽ a$ : $∣ x - a ∣ = a - x$ , $∣ x ∣ = x$ , и $g (x) = 5 x + 2 a - 2 x - 3 x = 2 a$ .
При $x ⩾ a$ : $∣ x - a ∣ = x - a$ , $∣ x ∣ = x$ , и $g (x) = 5 x + 2 x - 2 a - 3 x = 4 x - 2 a$ .

Рисунок к решению

Итак, $g$ возрастает от $- \infty$ до $2 a$ на $(- \infty; 0]$ , постоянна и равна $2 a$ на $[0; a]$ и возрастает от $2 a$ до $+ \infty$ на $[a; + \infty)$ . Значит, значение $u = 2 a$ даёт бесконечно много $x$ (весь отрезок $[0; a]$ ), а любое другое $u$ — ровно одно $x$ .

Поэтому ровно два решения будет тогда и только тогда, когда уравнение $(*)$ имеет два различных корня и ни один из них не равен $2 a$ . Если какой-то корень равен $2 a$ , решений бесконечно много; если корень один или корней нет, решений не больше одного.

Условие двух различных корней:

$D = (a - 1)^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow (a - 3) (a + 1) > 0 \Leftrightarrow a < - 1 или a > 3.$

Проверим, может ли $u = 2 a$ быть корнем. Обозначим $f (u) = u^{2} + (a - 1) u + 1$ :

$f (2 a) = 4 a^{2} + 2 a (a - 1) + 1 = 6 a^{2} - 2 a + 1.$

Дискриминант этого трёхчлена $4 - 24 < 0$ , а старший коэффициент положителен, поэтому $f (2 a) > 0$ при всех $a$ : число $2 a$ корнем не бывает. С учётом $a > 0$ получаем $a > 3$ .

3) $a < 0$ . Теперь $a < 0$ .

Рисунок к решению

При $x ⩽ a$ : $∣ x - a ∣ = a - x$ , $∣ x ∣ = - x$ , и $g (x) = 5 x + 2 a - 2 x + 3 x = 6 x + 2 a$ .
При $a ⩽ x ⩽ 0$ : $∣ x - a ∣ = x - a$ , $∣ x ∣ = - x$ , и $g (x) = 5 x + 2 x - 2 a + 3 x = 10 x - 2 a$ .
При $x ⩾ 0$ : $∣ x - a ∣ = x - a$ , $∣ x ∣ = x$ , и $g (x) = 5 x + 2 x - 2 a - 3 x = 4 x - 2 a$ .

Рисунок к решению

Функция $g$ непрерывна, на каждом участке линейна с положительным угловым коэффициентом ( $6$ , $10$ , $4$ ), поэтому она строго возрастает от $- \infty$ до $+ \infty$ , и каждое $u$ даёт ровно одно $x$ . Значит, нужно, чтобы $(*)$ имело два различных корня: $a < - 1$ или $a > 3$ . С учётом $a < 0$ получаем $a < - 1$ .

Объединяя случаи, получаем $a < - 1$ или $a > 3$ .

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19