ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$.

Сделаем замену $t=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$. Возведём её в квадрат:

$$t^2=\frac{x^2}{4}+2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}=\frac{x^2}{4}+2+\frac{4}{x^2},\text{поэтому}\frac{x^2}{4}+\frac{4}{x^2}=t^2-2.$$

Уравнение принимает вид

$$a(t^2-2)-(3a+4)t+2a+12=0\iff a{t}^2-(3a+4)t+12=0.(\ast )$$

Сколько $x$ даёт одно значение $t$. Умножим равенство $\frac{x}{2}+\frac{2}{x}=t$ на $2x\ne 0$:

$$x^2-2tx+4=0.$$

Число $x=0$ корнем не является, поэтому это уравнение равносильно замене. Его дискриминант $\frac{D}{4}=t^2-4$. Значит:

• при $|t|>2$ — два различных значения $x$;
• при $|t|=2$ — одно значение $x=t$;
• при $|t|<2$ — ни одного.

Каждому $x$ соответствует одно $t$, поэтому разные корни $t$ дают разные $x$, и число решений исходного уравнения — сумма количеств $x$ по всем корням $(\ast )$.

Корни уравнения $(\ast )$. Разложим левую часть на множители группировкой:

$$a{t}^2-3at-4t+12=at(t-3)-4(t-3)=(t-3)(at-4).$$

Корень $t=3$ есть при любом $a$, и так как $3>2$, он даёт два различных значения $x$ (это $x=3\pm \sqrt{5}$). Значит, уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда множитель $at-4$ не добавляет новых $x$.

При $a=0$ множитель равен $-4\ne 0$, остаётся только $t=3$ — ровно два решения. Значение $a=0$ подходит.

При $a\ne 0$ второй корень $t_2=\frac{4}{a}$. Он не добавляет новых решений, если совпадает с $t=3$ или если $\left|t_2\right|<2$.

Совпадение: $\frac{4}{a}=3$ при $a=\frac{4}{3}$.

Условие $\left|\frac{4}{a}\right|<2$: так как $|a|>0$, оно равносильно $4<2|a|$, то есть $|a|>2$: $a<-2$ или $a>2$.

При $a=\pm 2$ получаем $|t_2|=2$ — добавляется одно решение, всего три. При остальных $a\ne 0$ имеем $|t_2|>2$, $t_2\ne 3$ — добавляются два решения, всего четыре.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup \left\{0;\frac{4}{3}\right\}\cup (2;+\infty )$.