ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ: аргумент логарифма положителен, $x-a>0$, то есть $x>a$.

Обозначим $u=x^2-5$, $v=\ln (x-a)$. Уравнение принимает вид $(u+v{)}^2=u^2+v^2$. Раскроем квадрат суммы:

$$u^2+2uv+v^2=u^2+v^2\iff 2uv=0.$$

Значит, на ОДЗ уравнение равносильно $(x^2-5)\ln (x-a)=0$, то есть совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}^2-5=0,\\ x>a,\end{array}\\ \ln (x-a)=0.\end{array}$$

Первая часть. $x^2=5$, $x=\pm \sqrt{5}$. Так как $4<5<9$, имеем $2<\sqrt{5}<3$, и корень $x=\sqrt{5}$ лежит на отрезке $[-1;3]$, а $x=-\sqrt{5}<-2$ — нет. Корень $x=\sqrt{5}$ входит в ОДЗ при $\sqrt{5}>a$, то есть $a<\sqrt{5}$.

Вторая часть. $\ln (x-a)=0\iff x-a=1\iff x=a+1$. Этот корень всегда в ОДЗ, ведь для него $x-a=1>0$. На отрезок он попадает при

$$-1⩽a+1⩽3\iff -2⩽a⩽2.$$

Совпадение корней. $a+1=\sqrt{5}\iff a=\sqrt{5}-1$. Это значение лежит на отрезке $[-2;2]$, так как $\sqrt{5}-1\approx 1,24$.

На плоскости $(x;a)$ корни — это луч $x=\sqrt{5}$ при $a<\sqrt{5}$ и прямая $x=a+1$; нас интересует полоса $-1⩽x⩽3$.

Разберём все случаи.

• $a<-2$: корень $\sqrt{5}$ подходит ($a<\sqrt{5}$), а $a+1<-1$ не лежит на отрезке — один корень.
• $-2⩽a⩽2$, $a\ne \sqrt{5}-1$: подходят оба корня $\sqrt{5}$ (так как $a⩽2<\sqrt{5}$) и $a+1$, они различны — два корня.
• $a=\sqrt{5}-1$: корни совпадают — один корень.
• $2<a<\sqrt{5}$: корень $\sqrt{5}$ подходит, а $a+1>3$ не лежит на отрезке — один корень.
• $a⩾\sqrt{5}$: корень $\sqrt{5}$ не входит в ОДЗ, а $a+1>3$ — корней нет.

Один корень на отрезке уравнение имеет при $a<-2$, $a=\sqrt{5}-1$ и $2<a<\sqrt{5}$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup \left\{\sqrt{5}-1\right\}\cup \left(2;\sqrt{5}\right)$.