ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ первого уравнения: $x-y+2⩾0$, то есть $y⩽x+2$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Если $\sqrt{x-y+2}=0$, то есть $y=x+2$, первый множитель определён при любых $x$. Если равен нулю первый множитель, нужно ещё условие ОДЗ:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=x^2-6x+2,\\ y⩽x+2,\end{array}\\ y=x+2.\end{array}$$

Найдём часть параболы, лежащую не выше прямой:

$$x^2-6x+2⩽x+2\iff x^2-7x⩽0\iff 0⩽x⩽7.$$

Итак, первое уравнение задаёт на плоскости $(x;y)$ прямую $y=x+2$ и дугу параболы $y=x^2-6x+2$ при $0⩽x⩽7$ с вершиной $(3;-7)$. Концы дуги $A(0;2)$ и $B(7;9)$ лежат на прямой $y=x+2$.

Второе уравнение $y=a(x+1)$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через точку $(-1;0)$. С ростом $a$ прямая поворачивается вокруг этой точки против часовой стрелки.

Пересечение с прямой $y=x+2$. Из $a(x+1)=x+2$ получаем $(a-1)x=2-a$. При $a=1$ это равенство $0=1$ неверно: прямые параллельны, общих точек нет. При $a\ne 1$ общая точка одна, $x=\frac{2-a}{a-1}$.

Пересечение с дугой. Нужно найти корни уравнения

$$g(x)=x^2-(6+a)x+2-a=0$$

на отрезке $[0;7]$. Вычислим

$$D=(6+a{)}^2-4(2-a)=a^2+16a+28=(a+2)(a+14),$$

$$g(0)=2-a,g(7)=49-7(6+a)+2-a=9-8a,x_{\text{в}}=\frac{6+a}{2}.$$

• $-14<a<-2$: $D<0$, корней нет.
• $a=-2$: двойной корень $x=\frac{6-2}{2}=2\in [0;7]$, прямая касается дуги в точке $(2;-6)$. При $a=-14$ двойной корень $x=-4\notin [0;7]$: касание с параболой вне дуги.
• $a<-14$: $D>0$, но $g(0)>0$ и $x_{\text{в}}<-4<0$, поэтому оба корня отрицательны — на дуге точек нет.
• $-2<a<\frac{9}{8}$: $D>0$, $g(0)>0$, $g(7)>0$, вершина $x_{\text{в}}\in \left(2;\frac{57}{16}\right)$ лежит внутри отрезка, поэтому оба корня лежат на $(0;7)$ — две точки.
• $a=\frac{9}{8}$: $g(7)=0$, один корень $x=7$ (точка $B$), второй по теореме Виета равен $6+\frac{9}{8}-7=\frac{1}{8}\in [0;7]$ — две точки.
• $\frac{9}{8}<a<2$: $g(0)>0$, $g(7)<0$ — ровно один корень на $(0;7)$.
• $a=2$: $g(0)=0$, корень $x=0$ (точка $A$), второй корень $8\notin [0;7]$ — одна точка.
• $a>2$: $g(0)<0$ и $g(7)<0$, парабола с ветвями вверх отрицательна на всём отрезке $[0;7]$ — точек нет.

Совпадения. Прямая $y=x+2$ и дуга имеют общие точки только $A$ и $B$. Прямая $y=a(x+1)$ проходит через $A(0;2)$ при $a=2$ и через $B(7;9)$ при $9=8a$, $a=\frac{9}{8}$.

Изобразим граничные положения прямой: I — $a=-2$ (касание), II — $a=1$ (параллельна $y=x+2$), III — $a=\frac{9}{8}$ (через $B$), IV — $a=2$ (через $A$).

Подсчитаем решения.

• $a<-2$: только точка на прямой $y=x+2$ — одно решение.
• $a=-2$ (I): точка на прямой и точка касания $(2;-6)$, которая не лежит на $y=x+2$ — два решения.
• $-2<a<\frac{9}{8}$, $a\ne 1$: одна точка на прямой и две на дуге, все различны — три решения.
• $a=1$ (II): с прямой $y=x+2$ общих точек нет, на дуге две точки — два решения.
• $a=\frac{9}{8}$ (III): точка на прямой совпадает с $B$, вторая точка дуги с $x=\frac{1}{8}$ — два решения.
• $\frac{9}{8}<a<2$: одна точка на прямой и одна на дуге — два решения.
• $a=2$ (IV): точка на прямой совпадает с точкой дуги $A$ — одно решение.
• $a>2$: только точка на прямой — одно решение.

Ровно два решения система имеет при $a=-2$, $a=1$ и $\frac{9}{8}⩽a<2$.

Ответ: $a\in \{-2;1\}\cup \left[\frac{9}{8};2\right)$.