ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Обозначим $L={\log }_{\frac{1}{3}}\left(4a^2-4a+9\right)$. Логарифм определён при всех $a$, так как $4a^2-4a+9=(2a-1{)}^2+8>0$. Выражение под корнем $18x^4+7x^2=x^2\left(18x^2+7\right)⩾0$ при всех $x$.

Знаменатель положителен: $5\sqrt{18x^4+7x^2}⩾0$, $2a⩾0$ по условию, $L^2⩾0$, а слагаемое $4$ положительно. Поэтому умножение обеих частей неравенства на знаменатель — равносильный переход:

$$5\sqrt{18x^4+7x^2}+2a+4+L^2⩽2a+x^2-4L.$$

Перенесём всё влево и выделим полный квадрат $L^2+4L+4=(L+2{)}^2$:

$$(L+2{)}^2+5\sqrt{18x^4+7x^2}-x^2⩽0.(\ast )$$

Необходимое условие. Переменная $x$ входит в неравенство $(\ast )$ только в чётных степенях. Поэтому если $x_0$ — решение, то и $-x_0$ — решение. Если множество решений состоит из одной точки, то $x_0=-x_0$, то есть $x_0=0$. Значит, $x=0$ обязано быть решением:

$$(L+2{)}^2⩽0\iff L=-2\iff {\log }_{\frac{1}{3}}\left(4a^2-4a+9\right)=-2\iff 4a^2-4a+9={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9.$$

Отсюда $4a^2-4a=0$, $4a(a-1)=0$, $a=0$ или $a=1$. Оба значения неотрицательны.

Достаточность. При $a=0$ и при $a=1$ имеем $4a^2-4a+9=9$, $L=-2$, и неравенство $(\ast )$ принимает вид

$$5\sqrt{18x^4+7x^2}⩽x^2.$$

Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход:

$$25\left(18x^4+7x^2\right)⩽x^4\iff 449x^4+175x^2⩽0\iff x^2\left(449x^2+175\right)⩽0.$$

Так как $449x^2+175>0$, получаем $x^2⩽0$, то есть $x=0$. Значит, при $a=0$ и при $a=1$ множество решений действительно состоит из одной точки $x=0$.

Ответ: $a\in \{0;1\}$, $x=0$.