ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Левая часть — сумма двух модулей, она неотрицательна. Поэтому при $a<0$ решений нет. При $a=0$ оба модуля равны нулю: $x=4$, $y=4$, но $4\cdot 4=16\ne 4$, и решений тоже нет. Дальше считаем $a>0$.

Раскроем модули в четырёх областях:

• $x⩾4$, $y⩾4$: $x+y=8+a$;
• $x⩾4$, $y⩽4$: $x-y=a$;
• $x⩽4$, $y⩾4$: $y-x=a$;
• $x⩽4$, $y⩽4$: $x+y=8-a$.

Получаем квадрат с центром $(4;4)$ и вершинами $(4\pm a;4)$, $(4;4\pm a)$: его диагонали параллельны осям координат и равны $2a$. С ростом $a$ квадрат увеличивается.

Второе уравнение. Так как $x\ne 0$, уравнение $xy=4$ равносильно $y=\frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. И квадрат, и гипербола симметричны относительно прямой $y=x$.

Посчитаем общие точки гиперболы с каждой стороной квадрата.

Верхняя правая сторона ($x⩾4$, $y⩾4$). Здесь $xy⩾16>4$, общих точек нет.

Нижняя правая сторона $x-y=a$, $x⩾4$, $y⩽4$. У точек гиперболы с $x⩾4$ ордината $y=\frac{4}{x}\in (0;1]$, так что условие $y⩽4$ выполнено. Получаем уравнение

$$x-\frac{4}{x}=a,x⩾4.$$

Функция $x-\frac{4}{x}$ возрастает при $x>0$ как сумма возрастающих функций $x$ и $-\frac{4}{x}$, и при $x=4$ она равна $3$. Значит, при $a⩾3$ общая точка ровно одна, при $a<3$ общих точек нет. При $a=3$ это точка $(4;1)$ — нижняя вершина квадрата.

Верхняя левая сторона симметрична нижней правой относительно прямой $y=x$. Поэтому при $a⩾3$ у неё одна общая точка с гиперболой (при $a=3$ — левая вершина $(1;4)$), при $a<3$ — ни одной.

Нижняя левая сторона $x+y=8-a$, $x⩽4$, $y⩽4$. Подставим $y=\frac{4}{x}$:

$$x+\frac{4}{x}=8-a.$$

Правая ветвь ($x>0$): условия $x⩽4$ и $y=\frac{4}{x}⩽4$ дают $1⩽x⩽4$. Функция $h(x)=x+\frac{4}{x}$ имеет производную $h^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$, она отрицательна при $1⩽x<2$ и положительна при $2<x⩽4$. Значит, $h$ убывает на $[1;2]$ от $h(1)=5$ до $h(2)=4$ и возрастает на $[2;4]$ до $h(4)=5$. Отсюда: при $4<8-a<5$, то есть $3<a<4$, два корня (по одному на $(1;2)$ и на $(2;4)$); при $a=4$ один корень $x=2$ — сторона касается гиперболы в точке $(2;2)$; при $a=3$ корни $x=1$ и $x=4$ — это уже найденные вершины $(1;4)$ и $(4;1)$; при остальных $a$ корней нет.

Левая ветвь ($x<0$): условия $x⩽4$ и $y⩽4$ выполнены, так как $y<0$. При $x<0$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим $|x|+\frac{4}{|x|}⩾2\sqrt{4}=4$, поэтому $x+\frac{4}{x}=-\left(|x|+\frac{4}{|x|}\right)⩽-4$, равенство при $x=-2$. На $(-\infty ;-2]$ функция $x+\frac{4}{x}$ возрастает от $-\infty$ до $-4$, на $[-2;0)$ убывает от $-4$ до $-\infty$. Поэтому при $8-a<-4$, то есть $a>12$, корней два; при $a=12$ — один корень $x=-2$, сторона касается гиперболы в точке $(-2;-2)$; при $a<12$ корней нет.

Совпадения. Точки разных сторон совпадают только в вершинах квадрата. Вершины $(4;4-a)$ и $(4-a;4)$ лежат на гиперболе, когда $4(4-a)=4$, то есть $a=3$. Для вершин $(4+a;4)$ и $(4;4+a)$ получаем $4(4+a)=4$, $a=-3<0$ — не подходит.

Изобразим гиперболу и граничные положения квадрата: $a=3$ (две вершины на гиперболе), $a=4$ и $a=12$ (касание нижней левой стороной).

Подведём итог.

• $0<a<3$: общих точек нет.
• $a=3$: две вершины $(4;1)$ и $(1;4)$ — два решения.
• $3<a<4$: по одной точке на нижней правой и верхней левой сторонах и две на нижней левой — четыре решения.
• $a=4$: $1+1+1$ — три решения.
• $4<a<12$: точки только на нижней правой и верхней левой сторонах — два решения.
• $a=12$: $1+1+1$ — три решения.
• $a>12$: $1+1+2$ — четыре решения.

Ровно два решения система имеет при $a=3$ и при $4<a<12$.

Ответ: $a\in \{3\}\cup (4;12)$.