ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Вынесем $x$ за скобку: $x(|y|+2)=3$. Так как $|y|+2⩾2>0$, это равносильно

$$x=\frac{3}{|y|+2}.$$

Отсюда $0<x⩽\frac{3}{2}$ и $|y|=\frac{3}{x}-2$. Значит, на плоскости $(x;y)$ второе уравнение задаёт две дуги, симметричные относительно оси $Ox$:

• верхняя дуга $y=\frac{3}{x}-2$ при $0<x⩽\frac{3}{2}$ (здесь $y⩾0$); она убывает от $+\infty$ до $0$;
• нижняя дуга $y=2-\frac{3}{x}$ при $0<x⩽\frac{3}{2}$ (здесь $y⩽0$); она возрастает от $-\infty$ до $0$.

Дуги сходятся в точке $\left(\frac{3}{2};0\right)$. Каждая точка графика даёт одно решение системы, если лежит на первой прямой.

Первое уравнение. Запишем его в виде

$$2x-3+a(2y+1)=0.$$

При любом $a$ ему удовлетворяет точка $P\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$, в которой $2x-3=0$ и $2y+1=0$. При $a=0$ это вертикальная прямая $x=\frac{3}{2}$, при $a\ne 0$ — прямая $y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{a}\left(x-\frac{3}{2}\right)$ с угловым коэффициентом $-\frac{1}{a}$. Итак, первое уравнение задаёт пучок прямых с центром $P$: при $a<0$ прямые возрастают, при $a>0$ убывают.

Пересечение с нижней дугой. Подставим $y=2-\frac{3}{x}$: $2y+1=5-\frac{6}{x}$, и после умножения на $x>0$ получим

$$\phi (x)=2x^2+(5a-3)x-6a=0,0<x⩽\frac{3}{2}.$$

Имеем $\phi (0)=-6a$, $\phi \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}+\frac{15a}{2}-\frac{9}{2}-6a=\frac{3a}{2}$. При $a\ne 0$ эти значения разных знаков, поэтому квадратный трёхчлен $\phi$ имеет на интервале $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ ровно один корень (если бы корней внутри было два, знаки на концах совпадали бы). При $a=0$ получаем $x(2x-3)=0$, подходит $x=\frac{3}{2}$ — это точка $\left(\frac{3}{2};0\right)$. Итак, с нижней дугой прямая всегда имеет ровно одну общую точку, и при $a\ne 0$ у неё $x<\frac{3}{2}$, то есть $y<0$.

Пересечение с верхней дугой. Подставим $y=\frac{3}{x}-2$: $2y+1=\frac{6}{x}-3$, и

$$\psi (x)=2x^2-3(a+1)x+6a=0,0<x⩽\frac{3}{2}.$$

Здесь $\psi (0)=6a$, $\psi \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}(a+1)+6a=\frac{3a}{2}$, абсцисса вершины параболы $x_{\text{в}}=\frac{3(a+1)}{4}$, дискриминант

$$D=9(a+1{)}^2-48a=9a^2-30a+9=3(3a-1)(a-3).$$

• $a<0$: $\psi (0)<0$ и $\psi \left(\frac{3}{2}\right)<0$; парабола с ветвями вверх отрицательна на всём отрезке между этими точками, корней на $\left(0;\frac{3}{2}\right]$ нет.
• $a=0$: $\psi (x)=x(2x-3)$, подходит $x=\frac{3}{2}$ — та же точка $\left(\frac{3}{2};0\right)$, что и на нижней дуге.
• $a>0$: $\psi (0)>0$ и $\psi \left(\frac{3}{2}\right)>0$, поэтому корни на $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ есть, только если $D⩾0$ и вершина лежит внутри интервала: $x_{\text{в}}<\frac{3}{2}\iff a<1$. Условие $D⩾0$ даёт $a⩽\frac{1}{3}$ или $a⩾3$, вместе с $a<1$ остаётся $0<a⩽\frac{1}{3}$. При $0<a<\frac{1}{3}$ корней два, при $a=\frac{1}{3}$ — один двойной корень $x=x_{\text{в}}=1$, ему соответствует точка $(1;1)$: прямая касается верхней дуги. При $\frac{1}{3}<a<3$ корней нет совсем ($D<0$). При $a⩾3$ вершина $x_{\text{в}}⩾3$, поэтому на промежутке $\left(0;\frac{3}{2}\right]$ трёхчлен убывает и остаётся больше $\psi \left(\frac{3}{2}\right)>0$: оба корня больше $\frac{3}{2}$. Например, при $a=3$ прямая касается продолжения гиперболы в точке $(3;-1)$, которая в наш график не входит.

При $0<a⩽\frac{1}{3}$ точки на верхней дуге имеют $x<\frac{3}{2}$, то есть $y>0$, и не совпадают с точкой на нижней дуге.

Изобразим график второго уравнения и граничные положения прямой пучка: $a=0$ (вертикальная прямая) и $a=\frac{1}{3}$ (касание верхней дуги в точке $(1;1)$, прямая $y=-3x+4$).

Подсчитаем решения.

• $a<0$: одна точка на нижней дуге, на верхней нет — одно решение.
• $a=0$: обе дуги дают одну точку $\left(\frac{3}{2};0\right)$ — одно решение.
• $0<a<\frac{1}{3}$: одна точка на нижней дуге и две на верхней — три решения.
• $a=\frac{1}{3}$: одна точка на нижней дуге и точка касания $(1;1)$ — два решения.
• $a>\frac{1}{3}$: только точка на нижней дуге — одно решение.

Ровно два различных решения система имеет только при $a=\frac{1}{3}$.

Ответ: $a=\frac{1}{3}$.