ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ первого уравнения: $x-y+4⩾0$, то есть $y⩽x+4$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Если $\sqrt{x-y+4}=0$, то есть $y=x+4$, первый множитель определён при любых $x$. Если равен нулю первый множитель, нужно ещё условие ОДЗ. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=x^2-7x+4,\\ y⩽x+4,\end{array}\\ y=x+4.\end{array}$$

Найдём, какая часть параболы лежит не выше прямой:

$$x^2-7x+4⩽x+4\iff x^2-8x⩽0\iff 0⩽x⩽8.$$

Значит, первое уравнение задаёт на плоскости $(x;y)$ прямую $y=x+4$ и дугу параболы $y=x^2-7x+4$ при $0⩽x⩽8$. Концы дуги $(0;4)$ и $(8;12)$ лежат на прямой $y=x+4$, вершина параболы — точка $\left(\frac{7}{2};-\frac{33}{4}\right)$.

Второе уравнение $y=-x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$.

Пересечение с прямой $y=x+4$. Угловые коэффициенты $-1$ и $1$ различны, поэтому при любом $a$ общая точка ровно одна: из $-x+a=x+4$ получаем $x=\frac{a-4}{2}$.

Пересечение с дугой. Приравняем:

$$x^2-7x+4=-x+a\iff x^2-6x+4-a=0\iff (x-3{)}^2=a+5.$$

При $a<-5$ корней нет. При $a=-5$ один корень $x=3\in [0;8]$: прямая касается параболы в точке $(3;-8)$. При $a>-5$ два корня $x=3\pm \sqrt{a+5}$. Больший корень лежит на дуге, если $3+\sqrt{a+5}⩽8$, то есть $\sqrt{a+5}⩽5$, $a⩽20$. Меньший — если $3-\sqrt{a+5}⩾0$, то есть $\sqrt{a+5}⩽3$, $a⩽4$. Итак, с дугой две общие точки при $-5<a⩽4$, одна — при $a=-5$ и при $4<a⩽20$, ни одной — при $a<-5$ и $a>20$.

Совпадения. Прямая $y=x+4$ и дуга имеют общие точки только в концах дуги $(0;4)$ и $(8;12)$. Прямая $y=-x+a$ проходит через $(0;4)$ при $a=4$ и через $(8;12)$ при $a=20$.

Изобразим граничные положения прямой: $a=-5$ (касание), $a=4$ и $a=20$ (проход через концы дуги).

Подсчитаем решения системы.

• $a<-5$: только точка на прямой $y=x+4$ — одно решение.
• $a=-5$: точка на прямой и точка касания $(3;-8)$, она не лежит на прямой $y=x+4$ — два решения.
• $-5<a<4$: одна точка на прямой и две на дуге, все различны — три решения.
• $a=4$: на дуге точки с $x=0$ и $x=6$, на прямой — точка с $x=0$; различных точек две: $(0;4)$ и $(6;-2)$ — два решения.
• $4<a<20$: одна точка на прямой и одна на дуге, различные — два решения.
• $a=20$: точка на дуге $(8;12)$ совпадает с точкой на прямой — одно решение.
• $a>20$: только точка на прямой — одно решение.

Ровно два решения система имеет при $a=-5$ и при $4⩽a<20$.

Ответ: $a\in \{-5\}\cup [4;20)$.