ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители выражение $x^3-x^2-4$. При $x=2$ оно равно $8-4-4=0$, значит, делится на $x-2$:

$$x^3-x^2-4=(x-2)(x^2+x+2).$$

Проверка: $(x-2)(x^2+x+2)=x^3+x^2+2x-2x^2-2x-4=x^3-x^2-4$. Кроме того, $x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)$. Тогда уравнение принимает вид

$$(x-2)a^2-(x-2)(x^2+x+2)a+(x-2)x^2(x+2)=0\iff (x-2)\left(a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)\right)=0.$$

Рассмотрим выражение в скобках как квадратный трёхчлен относительно $a$. Числа $x^2$ и $x+2$ в сумме дают $x^2+x+2$, а в произведении — $x^2(x+2)$. По теореме, обратной теореме Виета, это корни трёхчлена, и

$$a^2-(x^2+x+2)a+x^2(x+2)=(a-x^2)(a-x-2).$$

Итак, уравнение равносильно $(x-2)(a-x^2)(a-x-2)=0$, то есть совокупности

$$[\begin{array}{l}x=2,\\ a=x^2,\\ a=x+2.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$: первое уравнение задаёт вертикальную прямую, второе — параболу с вершиной $(0;0)$, третье — прямую с угловым коэффициентом $1$. При фиксированном $a$ решения уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.

Найдём точки пересечения линий. Парабола и прямая $a=x+2$: $x^2=x+2$, $x^2-x-2=0$, $(x+1)(x-2)=0$ — точки $(-1;1)$ и $(2;4)$. Прямая $x=2$ пересекает параболу в точке $(2;4)$ и прямую $a=x+2$ тоже в точке $(2;4)$: все три линии проходят через эту точку.

Горизонтальная прямая $a=c$ всегда пересекает прямую $x=2$ в точке $(2;c)$ и прямую $a=x+2$ в точке $(c-2;c)$. Параболу она пересекает в двух точках $(\pm \sqrt{c};c)$ при $c>0$, в одной точке $(0;0)$ при $c=0$ и не пересекает при $c<0$.

На рисунке ниже ось ординат — ось $a$; пунктиром показаны положения $a=1$ и $a=4$, положение $a=0$ совпадает с осью абсцисс.

Подсчитаем различные корни.

• $a<0$: корни $x=2$ и $x=a-2$, причём $a-2<-2$, они различны — два решения.
• $a=0$: корни $2$, $-2$ и $0$ — три решения.
• $a>0$: кандидаты $2$, $a-2$, $\sqrt{a}$, $-\sqrt{a}$. Найдём, когда какие-то из них совпадают. $a-2=2$ при $a=4$; $\sqrt{a}=2$ при $a=4$; $-\sqrt{a}=2$ невозможно; $\sqrt{a}=a-2$ при $\sqrt{a}=2$, то есть $a=4$ (корень $\sqrt{a}=-1$ не подходит); $-\sqrt{a}=a-2$ равносильно $a+\sqrt{a}-2=0$, $(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)=0$, то есть $a=1$; $\sqrt{a}=-\sqrt{a}$ только при $a=0$.
• $a=1$: корни $2$, $1$, $-1$ — три решения.
• $a=4$: $a-2=2$ и $\sqrt{a}=2$, остаются корни $2$ и $-2$ — два решения.
• Остальные $a>0$: четыре различных корня.

Ровно два решения уравнение имеет при $a<0$ и при $a=4$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \{4\}$.