ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Перенесём всё в левую часть и разделим обе части на $4^x>0$ (это равносильное преобразование). Учитывая, что $\frac{9^x}{4^x}={\left(\frac{9}{4}\right)}^x={\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^x\right)}^2$ и $\frac{6^x}{4^x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$, получим

$$(a-1){\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}+(a-13){\left(\frac{3}{2}\right)}^x-(2a-14)=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$. Функция $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ строго возрастает и принимает все положительные значения, поэтому каждому $t>0$ соответствует ровно один $x$, а значениям $t⩽0$ — ни одного. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение

$$(a-1)t^2+(a-13)t-(2a-14)=0$$

имеет ровно один положительный корень.

Сумма коэффициентов этого уравнения равна $(a-1)+(a-13)-(2a-14)=0$, поэтому $t=1$ — его корень при любом $a$. Разложим левую часть на множители:

$$(t-1)((a-1)t+2a-14)=0.$$

Проверка раскрытием скобок: $(a-1)t^2+(2a-14)t-(a-1)t-(2a-14)=(a-1)t^2+(a-13)t-(2a-14)$.

Корень $t=1$ положителен, ему соответствует $x=0$. Значит, уравнение имеет единственный корень, если второй множитель не даёт другого положительного $t$.

Случай $a=1$. Второй множитель равен $2\cdot 1-14=-12\ne 0$, уравнение сводится к $-12(t-1)=0$, и $t=1$ — единственный корень. Значение $a=1$ подходит.

Случай $a\ne 1$. Второй корень

$$t_2=\frac{14-2a}{a-1}.$$

Положительный корень единствен, если $t_2$ совпадает с $t=1$ или $t_2⩽0$.

Совпадение: $\frac{14-2a}{a-1}=1\iff 14-2a=a-1\iff a=5$. Действительно, при $a=5$ уравнение принимает вид $4t^2-8t+4=4(t-1{)}^2=0$.

Неположительный корень: $\frac{14-2a}{a-1}⩽0$. Разделим обе части на $-2$, знак неравенства сменится:

$$\frac{a-7}{a-1}⩾0.$$

Решим методом интервалов: нуль числителя $a=7$ (входит), нуль знаменателя $a=1$ (выколот).

Получаем $a<1$ или $a⩾7$.

Объединим найденное: $a<1$, $a=1$, $a=5$, $a⩾7$.

Ответ: $a\in (-\infty ;1]\cup \{5\}\cup [7;+\infty )$.