ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ: аргумент логарифма положителен, $x+a>0$.

Перенесём правую часть влево и воспользуемся формулой разности квадратов $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, где $u=x+\ln (x+a)$, $v=x-\ln (x+a)$:

$$u-v=2\ln (x+a),u+v=2x,u^2-v^2=4x\ln (x+a).$$

Значит, на ОДЗ уравнение равносильно уравнению $4x\ln (x+a)=0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}x=0,\\ \ln (x+a)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ x+a=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ x=1-a.\end{array}$$

Проверим каждый корень на ОДЗ и на принадлежность отрезку $[0;1]$.

Корень $x=0$ всегда лежит на отрезке $[0;1]$, а в ОДЗ входит, только если $0+a>0$, то есть при $a>0$.

Корень $x=1-a$ всегда входит в ОДЗ, потому что для него $x+a=1>0$. На отрезок он попадает при

$$0⩽1-a⩽1\iff 0⩽a⩽1.$$

Корни совпадают, когда $1-a=0$, то есть при $a=1$.

На плоскости $(x;a)$ решения — это точки луча $x=0$, $a>0$ и прямой $a=1-x$; нас интересует полоса $0⩽x⩽1$.

Разберём все случаи.

• $a<0$: корень $x=0$ не входит в ОДЗ, а $x=1-a>1$ не лежит на отрезке — корней на $[0;1]$ нет.
• $a=0$: корень $x=0$ не входит в ОДЗ (выражение $\ln 0$ не определено), а $x=1$ подходит — корень один.
• $0<a<1$: подходят два различных корня $x=0$ и $x=1-a\in (0;1)$.
• $a=1$: оба корня равны $0$ — корень один.
• $a>1$: подходит $x=0$, а $x=1-a<0$ не лежит на отрезке — корень один.

Единственное решение на отрезке получаем при $a=0$ и при $a⩾1$.

Ответ: $a\in \{0\}\cup [1;+\infty )$.