ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Запишем ограничения. Выражение под корнем $\sqrt{x+4}$ должно быть неотрицательным, а корень $\sqrt{5-y}$ стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение строго положительно:

$$\{\begin{array}{l}x+4⩾0,\\ 5-y>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾-4,\\ y<5.\end{array}$$

При этих условиях дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель, то есть один из его множителей:

$$[\begin{array}{l}{y}^2-4y-xy+2x+4=0,\\ \sqrt{x+4}=0.\end{array}$$

Разложим многочлен на множители группировкой, представив $-4y$ как $-2y-2y$:

$$y^2-2y-2y+4-xy+2x=y(y-2)-2(y-2)-x(y-2)=(y-2)(y-x-2).$$

Второе уравнение совокупности даёт $x=-4$. Итак, с учётом ограничений первое уравнение системы задаёт на плоскости $(x;y)$ множество из трёх частей:

• луч $y=2$, $x⩾-4$ (условие $y<5$ для него выполнено) с началом в точке $(-4;2)$;
• часть прямой $y=x+2$, где $x⩾-4$ и $x+2<5$, то есть отрезок от точки $(-4;-2)$ до точки $(3;5)$, причём точка $(3;5)$ выколота;
• луч $x=-4$, $y<5$, идущий вниз от выколотой точки $(-4;5)$.

Второе уравнение $y=-x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$. С ростом $a$ прямая сдвигается вверх.

Каждая из трёх частей лежит на прямой, не параллельной $y=-x$, поэтому прямая $y=-x+a$ пересекает каждую часть не более чем в одной точке. Найдём, когда это пересечение есть.

• Луч $x=-4$: точка пересечения $(-4;a+4)$, условие $a+4<5$, то есть $a<1$.
• Луч $y=2$: точка $(a-2;2)$, условие $a-2⩾-4$, то есть $a⩾-2$.
• Отрезок $y=x+2$: из $x+(x+2)=a$ получаем $x=\frac{a-2}{2}$, условие $-4⩽\frac{a-2}{2}<3$, то есть $-6⩽a<8$.

Части множества имеют общие точки: $(-4;-2)$ (луч $x=-4$ и отрезок), $(-4;2)$ (два луча) и $(0;2)$ (луч $y=2$ и отрезок). Прямая $y=-x+a$ проходит через них при $a=-6$, $a=-2$ и $a=2$ соответственно. При этих $a$ две найденные точки совпадают, и решение нужно считать один раз.

Изобразим множество и граничные положения прямой: I — $a=-6$, II — $a=-2$, III — $a=1$, IV — $a=2$, V — $a=8$.

Подсчитаем число решений.

• $a<-6$: прямая пересекает только луч $x=-4$ — одно решение.
• $a=-6$ (положение I): луч $x=-4$ и отрезок дают одну и ту же точку $(-4;-2)$ — одно решение.
• $-6<a<-2$: луч $x=-4$ и отрезок, точки разные — два решения.
• $a=-2$ (положение II): оба луча дают точку $(-4;2)$, отрезок — точку $(-2;0)$ — два решения.
• $-2<a<1$: прямая пересекает все три части в трёх разных точках — три решения.
• $1⩽a<8$, $a\ne 2$: луч $y=2$ и отрезок — два решения. При $a=1$ (положение III) прямая проходит через выколотую точку $(-4;5)$, поэтому с лучом $x=-4$ общих точек уже нет.
• $a=2$ (положение IV): луч $y=2$ и отрезок дают одну точку $(0;2)$ — одно решение.
• $a⩾8$: только луч $y=2$ — одно решение. При $a=8$ (положение V) прямая проходит через выколотый конец отрезка $(3;5)$.

Система имеет единственное решение при $a⩽-6$, при $a=2$ и при $a⩾8$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-6]\cup \{2\}\cup [8;+\infty )$.