ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}|3x|-2x-5-a=0,\\ x^2+x-a\ne 0.\end{array}$$

Сначала найдём все корни числителя, а затем выбросим те из них, которые обращают знаменатель в ноль.

Корни числителя. Раскроем модуль по определению.

Если $x⩾0$, то $|3x|=3x$, и уравнение принимает вид

$$3x-2x-5-a=0\iff x=a+5.$$

Это число годится, только если оно удовлетворяет условию случая $x⩾0$, то есть при $a+5⩾0$, $a⩾-5$.

Если $x<0$, то $|3x|=-3x$, и

$$-3x-2x-5-a=0\iff x=-\frac{a+5}{5}.$$

Условие случая $x<0$ даёт $-\frac{a+5}{5}<0$, то есть $a+5>0$, $a>-5$.

Итак, при $a<-5$ числитель в ноль не обращается; при $a=-5$ у него один корень $x=0$ (второй случай при $a=-5$ корня не даёт); при $a>-5$ — два корня

$$x_1=a+5>0,x_2=-\frac{a+5}{5}<0,$$

и они различны, потому что лежат по разные стороны от нуля.

Это наглядно видно на плоскости $(x;a)$: корни числителя — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с ломаной $a=|3x|-2x-5$, вершина которой — точка $(0;-5)$. Точки параболы $a=x^2+x$ — это пары $(x;a)$, при которых знаменатель равен нулю.

Корни, обнуляющие знаменатель. Подставим $x_1=a+5$ в знаменатель:

$$(a+5{)}^2+(a+5)-a=a^2+10a+25+5=a^2+10a+30.$$

Дискриминант этого квадратного трёхчлена $D=10^2-4\cdot 30=-20<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому $a^2+10a+30>0$ при всех $a$. Значит, корень $x_1$ никогда не обращает знаменатель в ноль.

Подставим $x_2=-\frac{a+5}{5}$ и приравняем знаменатель к нулю:

$$\frac{(a+5{)}^2}{25}-\frac{a+5}{5}-a=0.$$

Умножим обе части на $25$ и раскроем скобки:

$$a^2+10a+25-5a-25-25a=0\iff a^2-20a=0\iff a(a-20)=0.$$

Значит, $x_2$ обращает знаменатель в ноль ровно при $a=0$ (тогда $x_2=-1$ и $(-1{)}^2+(-1)-0=0$) и при $a=20$ (тогда $x_2=-5$ и $25-5-20=0$). При этих значениях $a$ корень $x_2$ посторонний.

Подсчёт решений.

• При $a<-5$ решений нет.
• При $a=-5$ одно решение $x=0$: знаменатель равен $0+0+5=5\ne 0$.
• При $a=0$ остаётся только $x_1=5$, при $a=20$ — только $x_1=25$: по одному решению.
• При остальных $a>-5$ подходят оба корня $x_1$ и $x_2$, решений ровно два.

Значит, уравнение имеет ровно два различных решения при $a>-5$, $a\ne 0$, $a\ne 20$.

Ответ: $a\in (-5;0)\cup (0;20)\cup (20;+\infty )$.