ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Из второго уравнения $y=a(x-a)=ax-a^2$. Каждому $x$ соответствует ровно одно значение $y$, поэтому число решений системы равно числу различных корней уравнения

$$x^2+{\left(ax-a^2\right)}^2=|2,7a|.$$

Раскроем квадрат: ${\left(ax-a^2\right)}^2=a^2{x}^2-2a^{3}x+a^4$, а $|2,7a|=2,7|a|$. Получаем

$$\left(1+a^2\right)x^2-2a^{3}x+a^4-2,7|a|=0.$$

Так как $1+a^2>0$, это квадратное уравнение. Оно имеет два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант положителен:

$$\frac{D}{4}=a^6-\left(1+a^2\right)\left(a^4-2,7|a|\right)=a^6-a^4+2,7|a|-a^6+2,7a^2|a|=-a^4+2,7|a{|}^3+2,7|a|>0.$$

Здесь учтено, что $a^2|a|=|a{|}^3$. Обозначим $b=|a|⩾0$, тогда $a^4=b^4$, и условие принимает вид

$$b^4-2,7b^3-2,7b<0\iff b\left(b^3-2,7b^2-2,7\right)<0.$$

При $b=0$ левая часть равна нулю, и неравенство неверно. Действительно, при $a=0$ первое уравнение $x^2+y^2=0$ имеет единственное решение $(0;0)$. Значит, $b>0$, и после деления на $b$ получаем

$$f(b)=b^3-2,7b^2-2,7<0.$$

Исследуем функцию $f$ с помощью производной:

$$f^{\prime }(b)=3b^2-5,4b=b(3b-5,4),f^{\prime }(b)=0\text{при}b=0\text{и}b=\frac{9}{5}.$$

Знаки производной на промежутках:

На промежутке $\left(0;\frac{9}{5}\right)$ производная отрицательна и $f$ убывает, на $\left(\frac{9}{5};+\infty \right)$ — положительна и $f$ возрастает. Так как $f(0)=-2,7<0$, на $\left(0;\frac{9}{5}\right]$ функция отрицательна. Дальше она возрастает от отрицательного значения $f\left(\frac{9}{5}\right)$ до сколь угодно больших значений, поэтому обращается в ноль ровно в одной точке $b_0>\frac{9}{5}$. Схематично график выглядит так:

Найдём $b_0$ подбором: $f(3)=27-24,3-2,7=0$, значит, $b_0=3$. Это подтверждает и разложение на множители:

$$f(b)=(b-3)\left(b^2+0,3b+0,9\right),$$

где второй множитель положителен при всех $b$ (его дискриминант $0,09-3,6<0$).

Следовательно, $f(b)<0$ при $0<b<3$, то есть

$$0<|a|<3\iff a\in (-3;0)\cup (0;3).$$

Ответ: $a\in (-3;0)\cup (0;3)$.