ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Из второго уравнения $y=ax-a^2$. Каждому $x$ соответствует ровно одно значение $y$, поэтому число решений системы равно числу различных корней уравнения

$$x^2+{\left(ax-a^2\right)}^2=|1,6a|.$$

Раскроем квадрат: ${\left(ax-a^2\right)}^2=a^2{x}^2-2a^{3}x+a^4$, а $|1,6a|=1,6|a|$. Получаем

$$\left(1+a^2\right)x^2-2a^{3}x+a^4-1,6|a|=0.$$

Так как $1+a^2>0$, это квадратное уравнение. Оно имеет два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант положителен:

$$\frac{D}{4}=a^6-\left(1+a^2\right)\left(a^4-1,6|a|\right)=a^6-a^4+1,6|a|-a^6+1,6a^2|a|=-a^4+1,6|a{|}^3+1,6|a|>0.$$

Здесь учтено, что $a^2|a|=|a{|}^3$. Обозначим $b=|a|⩾0$, тогда $a^4=b^4$, и условие принимает вид

$$b^4-1,6b^3-1,6b<0\iff b\left(b^3-1,6b^2-1,6\right)<0.$$

При $b=0$ левая часть равна нулю, и неравенство неверно. Действительно, при $a=0$ первое уравнение $x^2+y^2=0$ имеет единственное решение $(0;0)$. Значит, $b>0$, и после деления на $b$ получаем

$$f(b)=b^3-1,6b^2-1,6<0.$$

Исследуем функцию $f$ с помощью производной:

$$f^{\prime }(b)=3b^2-3,2b=b(3b-3,2),f^{\prime }(b)=0\text{при}b=0\text{и}b=\frac{16}{15}.$$

Знаки производной на промежутках:

На промежутке $\left(0;\frac{16}{15}\right)$ производная отрицательна и $f$ убывает, на $\left(\frac{16}{15};+\infty \right)$ — положительна и $f$ возрастает. Так как $f(0)=-1,6<0$, на $\left(0;\frac{16}{15}\right]$ функция отрицательна. Дальше она возрастает от отрицательного значения $f\left(\frac{16}{15}\right)$ до сколь угодно больших значений, поэтому обращается в ноль ровно в одной точке $b_0>\frac{16}{15}$. Схематично график выглядит так:

Найдём $b_0$ подбором: $f(2)=8-6,4-1,6=0$, значит, $b_0=2$. Это подтверждает и разложение на множители:

$$f(b)=(b-2)\left(b^2+0,4b+0,8\right),$$

где второй множитель положителен при всех $b$ (его дискриминант $0,16-3,2<0$).

Следовательно, $f(b)<0$ при $0<b<2$, то есть

$$0<|a|<2\iff a\in (-2;0)\cup (0;2).$$

Ответ: $a\in (-2;0)\cup (0;2)$.