ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $2x+y+6⩾0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а оба множителя определены:

$$(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{x}^2+y^2+4x=0,\\ 2x+y+6=0,\end{array}\\ 2x+y+6⩾0.\end{array}$$

Если $2x+y+6=0$, то условие $2x+y+6⩾0$ выполнено автоматически. Поэтому первое уравнение задаёт на плоскости объединение двух множеств:

• прямой $\ell$: $y=-2x-6$ целиком;
• той части окружности $x^2+4x+y^2=0$, которая лежит в полуплоскости $y⩾-2x-6$.

Выделим полный квадрат: $x^2+4x+4+y^2=4$, то есть $(x+2{)}^2+y^2=4$ — окружность с центром $O(-2;0)$ и радиусом $2$.

Найдём точки пересечения окружности с прямой $\ell$. Подставим $y=-2x-6$:

$$(x+2{)}^2+(2x+6{)}^2=4\iff 5x^2+28x+36=0,$$

$$D=28^2-4\cdot 5\cdot 36=784-720=64,x=\frac{-28\pm 8}{10}:x=-2\text{или}x=-\frac{18}{5}.$$

Получаем точки $A(-2;-2)$ и $B\left(-\frac{18}{5};\frac{6}{5}\right)$ (так как $-2\cdot \left(-\frac{18}{5}\right)-6=\frac{36-30}{5}=\frac{6}{5}$).

Центр окружности лежит в полуплоскости: $2\cdot (-2)+0+6=2>0$. Значит, условию $2x+y+6⩾0$ удовлетворяет большая дуга $AB$ вместе с концами, а малая дуга $AB$ (без концов) лежит вне ОДЗ.

Второе уравнение $y=a(x-2)$ задаёт прямую $m$, проходящую через точку $P(2;0)$ с угловым коэффициентом $a$. Число решений системы равно числу общих точек прямой $m$ с множеством «прямая $\ell$ и большая дуга $AB$».

Пересечение $m$ с прямой $\ell$. Приравняем: $a(x-2)=-2x-6$, $(a+2)x=2a-6$. При $a\ne -2$ точка пересечения ровно одна. При $a=-2$ прямые параллельны и не совпадают (точка $P$ не лежит на $\ell$: $2\cdot 2+0+6\ne 0$), общих точек нет.

Пересечение $m$ с окружностью. Подставим $y=a(x-2)$ в уравнение окружности:

$$(x+2{)}^2+a^2(x-2{)}^2=4\iff \left(1+a^2\right)x^2+4\left(1-a^2\right)x+4a^2=0.$$

$$\frac{D}{4}=4{\left(1-a^2\right)}^2-4a^2\left(1+a^2\right)=4\left(1-2a^2+a^4-a^2-a^4\right)=4\left(1-3a^2\right).$$

При $|a|>\frac{1}{\sqrt{3}}$ общих точек нет, при $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ прямая касается окружности, при $|a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$ пересекает её в двух точках.

Точки касания: $x=-\frac{2\left(1-a^2\right)}{1+a^2}=-\frac{2\cdot \frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}=-1$, $y=a(-1-2)=-3a$. При $a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ это $T_1\left(-1;-\sqrt{3}\right)$, при $a=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ — $T_2\left(-1;\sqrt{3}\right)$. В обеих точках $2x+y+6=4\mp \sqrt{3}>0$, поэтому они лежат на большой дуге и не лежат на прямой $\ell$.

Прямые $PA$ и $PB$. Угловой коэффициент прямой $PA$: $a=\frac{-2-0}{-2-2}=\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент прямой $PB$: $a=\frac{\frac{6}{5}-0}{-\frac{18}{5}-2}=\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{28}{5}}=-\frac{3}{14}$.

Какие точки пересечения попадают на большую дугу. Касательные из точки $P$ касаются окружности в точках $T_1$ и $T_2$ с абсциссой $-1$. Каждая секущая $m$ при $|a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$ пересекает правую дугу $T_2{T}_1$ (где $x⩾-1$) в ближней к $P$ точке $N$, а левую дугу $T_2{T}_1$ (где $x⩽-1$) — в дальней точке $F$.

Все точки правой дуги лежат в ОДЗ, причём строго: при $x⩾-1$ и $|y|⩽2$ имеем $2x+y+6⩾-2-2+6=2>0$. Значит, точка $N$ всегда является решением и не лежит на прямой $\ell$.

При увеличении $a$ от $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ до $\frac{1}{\sqrt{3}}$ дальняя точка $F$ движется по левой дуге от $T_2$ через $B$, точку $(-4;0)$ и $A$ к $T_1$. Точка $(-4;0)$ лежит вне ОДЗ ($-8+0+6<0$), поэтому дуга $BA$, через которую проходит $F$ при $-\frac{3}{14}<a<\frac{1}{2}$, — это малая дуга. Итак, $F$ лежит на большой дуге при $-\frac{1}{\sqrt{3}}<a⩽-\frac{3}{14}$ и при $\frac{1}{2}⩽a<\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Посчитаем решения при всех $a$.

1. $|a|>\frac{1}{\sqrt{3}}$. С окружностью общих точек нет, остаётся не больше одной точки на прямой $\ell$ — не подходит.

2. $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Точка касания лежит на большой дуге, и ещё одна точка — пересечение с $\ell$ ($a\ne -2$). Эти точки различны, так как точка касания не лежит на $\ell$. Ровно два решения — подходит.

3. $-\frac{1}{\sqrt{3}}<a<-\frac{3}{14}$ и $\frac{1}{2}<a<\frac{1}{\sqrt{3}}$. Обе точки $N$ и $F$ лежат на большой дуге и не лежат на $\ell$, плюс точка пересечения с $\ell$. Три решения — не подходит.

4. $a=-\frac{3}{14}$. Дальняя точка $F$ совпадает с $B$, а $B$ лежит на прямой $\ell$, то есть совпадает и с точкой пересечения $m$ и $\ell$. Решения: $N$ и $B$ — ровно два, подходит.

5. $-\frac{3}{14}<a<\frac{1}{2}$. Точка $F$ лежит на малой дуге и решением не является. Остаются точка $N$ и точка пересечения с $\ell$; они различны, так как $N$ не лежит на $\ell$. Ровно два решения — подходит.

6. $a=\frac{1}{2}$. Дальняя точка $F$ совпадает с $A$, которая лежит на $\ell$. Решения: $N$ и $A$ — ровно два, подходит.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\cup \left[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}\right]$.