ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=|x+2|+|x-a|$. Уравнение примет вид

$$t^2-5t+3a(5-3a)=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, его корни — числа с суммой $5$ и произведением $3a(5-3a)$. Это числа $3a$ и $5-3a$. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}|x+2|+|x-a|=3a,(1)\\ |x+2|+|x-a|=5-3a.(2)\end{array}$$

Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$ (по вертикальной оси откладываем $a$), раскрывая модули методом областей. Подмодульные выражения меняют знак на прямых $x=-2$ и $a=x$. Они делят плоскость на четыре области; в каждой отметим знаки выражений $x+2$ и $x-a$ (первый знак относится к $|x+2|$, второй — к $|x-a|$).

Область «$++$»: $x⩾-2$, $a⩽x$. Здесь $|x+2|+|x-a|=2x+2-a$.

Уравнение (1): $2x+2-a=3a$, $a=\frac{x+1}{2}$. Условие области $a⩽x$ даёт $\frac{x+1}{2}⩽x$, то есть $x⩾1$. Получаем луч $a=\frac{x+1}{2}$, $x⩾1$, с началом в точке $(1;1)$.

Уравнение (2): $2x+2-a=5-3a$, $a=\frac{3-2x}{2}$. Условие $a⩽x$ даёт $\frac{3-2x}{2}⩽x$, то есть $x⩾\frac{3}{4}$. Получаем луч $a=\frac{3}{2}-x$, $x⩾\frac{3}{4}$, с началом в точке $\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right)$.

Область «$--$»: $x⩽-2$, $a⩾x$. Здесь $|x+2|+|x-a|=-x-2-x+a=a-2x-2$.

Уравнение (1): $a-2x-2=3a$, $a=-x-1$. При $x⩽-2$ имеем $a=-x-1⩾1>x$, условие области выполнено. Получаем луч $a=-x-1$, $x⩽-2$, с началом в точке $(-2;1)$.

Уравнение (2): $a-2x-2=5-3a$, $a=\frac{2x+7}{4}$. Условие $a⩾x$ даёт $2x+7⩾4x$, то есть $x⩽\frac{7}{2}$, — при $x⩽-2$ оно выполнено. Получаем луч $a=\frac{2x+7}{4}$, $x⩽-2$, с началом в точке $\left(-2;\frac{3}{4}\right)$.

Область «$+-$»: $x⩾-2$, $a⩾x$. Здесь $|x+2|+|x-a|=x+2+a-x=a+2$.

Уравнение (1): $a+2=3a$, $a=1$; с условием $x⩽a$ получаем отрезок $a=1$, $-2⩽x⩽1$.

Уравнение (2): $a+2=5-3a$, $a=\frac{3}{4}$; получаем отрезок $a=\frac{3}{4}$, $-2⩽x⩽\frac{3}{4}$.

Область «$-+$»: $x⩽-2$, $a⩽x$. Здесь $|x+2|+|x-a|=-x-2+x-a=-a-2$, причём $a⩽x⩽-2$.

Уравнение (1): $-a-2=3a$, $a=-\frac{1}{2}$ — противоречит условию $a⩽-2$. Уравнение (2): $-a-2=5-3a$, $a=\frac{7}{2}$ — тоже противоречит. В этой области решений нет.

Итак, множество решений на плоскости $(x;a)$ состоит из четырёх лучей и двух горизонтальных отрезков. Количество решений исходного уравнения при данном $a$ равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с этим множеством.

Положение I: прямая $a=\frac{3}{4}$ проходит через точку $\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right)$ и содержит целый отрезок. Положение II: прямая $a=1$ проходит через точку $(1;1)$ и тоже содержит целый отрезок.

Разберём положения прямой.

1. $a<\frac{3}{4}$ (ниже положения I). Прямая пересекает луч $a=\frac{3}{2}-x$ в точке $x=\frac{3}{2}-a>\frac{3}{4}$ и луч $a=\frac{2x+7}{4}$ в точке $x=\frac{4a-7}{2}<-2$. Остальные части множества лежат не ниже $a=\frac{3}{4}$. Ровно два решения — подходит.

2. $a=\frac{3}{4}$ (положение I). Все точки отрезка $-2⩽x⩽\frac{3}{4}$ — решения, их бесконечно много. Не подходит.

3. $\frac{3}{4}<a<1$ (между положениями I и II). Лучи из областей «$++$» и «$--$» уравнения (2) лежат не выше $a=\frac{3}{4}$, а лучи уравнения (1) — не ниже $a=1$. Решений нет.

4. $a=1$ (положение II). Решениями являются все точки отрезка $-2⩽x⩽1$ — бесконечно много. Не подходит.

5. $a>1$ (выше положения II). Прямая пересекает луч $a=\frac{x+1}{2}$ в точке $x=2a-1>1$ и луч $a=-x-1$ в точке $x=-a-1<-2$. Ровно два решения — подходит.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)\cup (1;+\infty )$.