ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Ограничение на параметр: $p\ne 0$, иначе выражение $\frac{18\pi }{p}$ не определено.

Сделаем замену $t=x^2-4|x|-p$. Уравнение примет вид

$$t^2+6t+10=\cos \frac{18\pi }{p}.$$

Выделим в левой части полный квадрат: $t^2+6t+10=(t+3{)}^2+1$. Получаем

$$(t+3{)}^2+1=\cos \frac{18\pi }{p}.$$

Оценим обе части. Левая часть не меньше $1$, так как $(t+3{)}^2⩾0$. Правая часть не больше $1$, так как косинус не превосходит $1$. Равенство возможно, только если обе части равны $1$:

$$\{\begin{array}{l}t=-3,\\ \cos \frac{18\pi }{p}=1.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4|x|=p-3,\\ \cos \frac{18\pi }{p}=1.\end{array}$$

Второе условие от $x$ не зависит. Если оно не выполнено, корней нет; если выполнено, корни уравнения — это корни первого уравнения системы. Значит, нужно найти все $p$, при которых $\cos \frac{18\pi }{p}=1$ и уравнение $x^2-4|x|=p-3$ имеет ровно два различных корня.

Число корней уравнения $x^2-4|x|=c$, где $c=p-3$. Так как $x^2=|x{|}^2$, сделаем замену $u=|x|⩾0$:

$$u^2-4u-c=0.$$

Каждый корень $u>0$ даёт два значения $x=\pm u$, корень $u=0$ — одно значение $x=0$, а отрицательный корень $u$ — ни одного. Дискриминант: $\frac{D}{4}=4+c$.

• $c<-4$: корней нет, значит, нет и корней $x$.
• $c=-4$: $u=2$, корни $x=\pm 2$ — ровно два.
• $c>-4$: $u_1=2+\sqrt{4+c}>0$ даёт два корня $x=\pm u_1$. Второй корень $u_2=2-\sqrt{4+c}$ положителен при $\sqrt{4+c}<2$, то есть при $c<0$; равен нулю при $c=0$; отрицателен при $c>0$.

Значит, при $-4<c<0$ корней четыре, при $c=0$ — три ($x=0$ и $x=\pm 4$), при $c>0$ — ровно два.

Итак, ровно два корня получается при $c=-4$ или $c>0$:

$$p-3=-4\text{или}p-3>0\iff p=-1\text{или}p>3.$$

Условие на косинус. Равенство $\cos \alpha =1$ верно при $\alpha =2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$:

$$\frac{18\pi }{p}=2\pi k\iff \frac{9}{p}=k,k\in \mathbb{Z}.$$

Так как $\frac{9}{p}\ne 0$, получаем $k\ne 0$ и $p=\frac{9}{k}$.

Отбор. Значение $p=-1$ подходит: $\frac{9}{-1}=-9$ — целое число.

Условие $p>3$: число $p=\frac{9}{k}$ положительно, поэтому $k>0$, и тогда $\frac{9}{k}>3\iff k<3$. Получаем $k=1$ или $k=2$, то есть $p=9$ или $p=4,5$. При $k=3$ уже $p=3$, и это значение не подходит.

Проверка: при $p=9$ и $p=4,5$ уравнение $x^2-4|x|=p-3$ имеет правую часть $6>0$ и $1,5>0$, а $\cos 2\pi =\cos 4\pi =1$; при $p=-1$ правая часть равна $-4$, а $\cos (-18\pi )=1$.

Ответ: $p\in \{-1;4,5;9\}$.