ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

$$\{\begin{array}{l}4x^2-a^2=0,\\ x^2+6x+9-a^2\ne 0.\end{array}$$

Решим уравнение. По формуле разности квадратов $4x^2-a^2=(2x-a)(2x+a)=0$, откуда

$$x=\frac{a}{2}\text{или}x=-\frac{a}{2}.$$

Преобразуем условие на знаменатель: $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$, поэтому

$$(x+3{)}^2-a^2=(x+3-a)(x+3+a)\ne 0\iff x\ne a-3\text{и}x\ne -a-3.$$

Уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда числа $\frac{a}{2}$ и $-\frac{a}{2}$ различны и ни одно из них не обращает знаменатель в ноль. Иначе корней не больше одного.

1. Корни числителя совпадают, если $\frac{a}{2}=-\frac{a}{2}$, то есть при $a=0$. Тогда корень один: $x=0$ (знаменатель равен $9\ne 0$).

2. Найдём, когда корень числителя совпадает с нулём знаменателя:

$$\frac{a}{2}=a-3\iff a=6;\frac{a}{2}=-a-3\iff \frac{3a}{2}=-3\iff a=-2;$$

$$-\frac{a}{2}=a-3\iff \frac{3a}{2}=3\iff a=2;-\frac{a}{2}=-a-3\iff \frac{a}{2}=-3\iff a=-6.$$

При каждом из этих значений один из корней числителя выпадает, и остаётся не больше одного корня. Например, при $a=6$ число $x=3$ обращает знаменатель в ноль, и остаётся только $x=-3$.

При всех остальных $a$ уравнение имеет ровно два различных корня $x=\pm \frac{a}{2}$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-6)\cup (-6;-2)\cup (-2;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;+\infty )$.