ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Ограничение на параметр: $a\ne 3$, иначе знаменатели обращаются в ноль и уравнение не имеет смысла.

Сделаем замену $t=7^{|x|}$. Тогда $49^{|x|}={\left(7^{|x|}\right)}^2=t^2$, и уравнение принимает вид

$$t^2-\frac{5a}{a-3}t+\frac{6a+7}{a-3}=0.(1)$$

Исследуем замену: сколько корней $x$ даёт значение $t$. Так как $|x|⩾0$, а функция $y=7^s$ возрастает, получаем:

• при $t>1$ — два корня $x=\pm {\log }_{7}t$;
• при $t=1$ — один корень $x=0$;
• при $t<1$ — корней нет.

Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет ровно один корень, больший $1$, а число $t=1$ его корнем не является. Если бы корнем было $t=1$, получилось бы один корень $x$ (без второго корня $t>1$) или три (с ним).

Обозначим $f(t)=t^2-\frac{5a}{a-3}t+\frac{6a+7}{a-3}$. Графиком является парабола с ветвями вверх. Подходят два расположения: парабола касается оси абсцисс правее точки $t=1$ или пересекает её по разные стороны от $t=1$.

Случай 1: уравнение (1) имеет единственный корень, и он больше $1$.

Условия: дискриминант равен нулю, а вершина параболы $t_{\text{в}}=\frac{5a}{2(a-3)}$ (она же корень) лежит правее $1$:

$$\{\begin{array}{l}D=0,\\ t_{\text{в}}>1.\end{array}$$

Найдём дискриминант:

$$D=\frac{25a^2}{(a-3{)}^2}-\frac{4(6a+7)}{a-3}=\frac{25a^2-4(6a+7)(a-3)}{(a-3{)}^2}=\frac{25a^2-24a^2+44a+84}{(a-3{)}^2}=\frac{a^2+44a+84}{(a-3{)}^2}.$$

Корни трёхчлена $a^2+44a+84$ по теореме, обратной теореме Виета, — $-2$ и $-42$ (сумма $-44$, произведение $84$). Значит, $D=0$ при $a=-2$ или $a=-42$.

Условие на вершину:

$$\frac{5a}{2(a-3)}>1\iff \frac{5a-2(a-3)}{2(a-3)}>0\iff \frac{3a+6}{2(a-3)}>0\iff \frac{a+2}{a-3}>0.$$

Решим это неравенство методом интервалов:

Получаем $a\in (-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$. Из двух значений $a=-2$ и $a=-42$ этому условию удовлетворяет только $a=-42$. Проверим: при $a=-42$ корень равен $t=\frac{5\cdot (-42)}{2\cdot (-45)}=\frac{7}{3}>1$ и даёт два корня $x=\pm {\log }_7\frac{7}{3}$. При $a=-2$ корень равен $t=1$ и даёт только $x=0$.

Случай 2: корни уравнения (1) лежат по разные стороны от $t=1$.

Для параболы с ветвями вверх это равносильно условию $f(1)<0$ (тогда парабола заведомо пересекает ось, а число $1$ лежит строго между корнями):

$$f(1)=1-\frac{5a}{a-3}+\frac{6a+7}{a-3}=\frac{a-3-5a+6a+7}{a-3}=\frac{2a+4}{a-3}<0.$$

Получаем $a\in (-2;3)$.

Других подходящих расположений нет: если оба корня больше $1$, корней $x$ четыре; если оба меньше $1$ или корней нет — корней $x$ нет; если один из корней равен $1$ — корней $x$ один или три.

Объединим случаи:

Ответ: $a\in \{-42\}\cup (-2;3)$.