ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$ (по вертикальной оси откладываем $a$). Значение $a$ подходит, если горизонтальная прямая $a=\mathrm{const}$ имеет хотя бы одну общую точку с множеством решений системы, лежащим в полосе $0⩽x⩽1$.

Первое неравенство. Его граница — линия $|x|+|a|=4$. Она равносильна условию $|a|=4-|x|$ при $|x|⩽4$, то есть

$$[\begin{array}{l}a=4-|x|,\\ a=|x|-4,\end{array}|x|⩽4.$$

График $a=4-|x|$ — «галочка» $a=|x|$, отражённая относительно оси абсцисс и поднятая на $4$; график $a=|x|-4$ — «галочка», опущенная на $4$. Вместе на отрезке $|x|⩽4$ они образуют квадрат с вершинами $A(0;4)$, $B(4;0)$, $C(0;-4)$, $D(-4;0)$.

Квадрат делит плоскость на две области. В точке $(0;0)$ неравенство верно ($0<4$), а в точке $(4;4)$ — нет ($8>4$). Значит, решения первого неравенства — внутренность квадрата $ABCD$ без границы. В полосе $0⩽x⩽1$ имеем $|x|=x$, и первое неравенство равносильно двойному неравенству

$$x-4<a<4-x$$

(точки строго между сторонами $CB$: $a=x-4$ и $AB$: $a=4-x$).

Второе неравенство. Выразим $a$:

$$16a⩽-x^2+8x+48\iff a⩽g(x)=\frac{-x^2+8x+48}{16}=4-\frac{(x-4{)}^2}{16}.$$

Это точки параболы $a=g(x)$ и под ней. Вершина параболы — $(4;4)$, ветви направлены вниз, поэтому на отрезке $[0;1]$ функция $g$ возрастает.

Точки на границах полосы. При $x=0$ стороны квадрата дают $a=\pm 4$ — точки $A(0;4)$ и $C(0;-4)$, а парабола — точку $G(0;3)$. При $x=1$ стороны квадрата дают $|a|=3$ — точки $F(1;3)$ и $E(1;-3)$, а парабола — точку $K\left(1;\frac{55}{16}\right)$.

При $x=0$ парабола ниже стороны $AB$ ($3<4$), а при $x=1$ — выше ($\frac{55}{16}>3$). Значит, внутри полосы парабола пересекает сторону $AB$. Найдём точку пересечения:

$$4-x=\frac{-x^2+8x+48}{16}\iff 64-16x=-x^2+8x+48\iff x^2-24x+16=0.$$

$$\frac{D}{4}=12^2-16=128,x=12\pm \sqrt{128}=12\pm 8\sqrt{2}.$$

Корень $12+8\sqrt{2}$ в полосу не попадает. Второй корень $x_L=12-8\sqrt{2}$ лежит в полосе: $8\sqrt{2}=\sqrt{128}$ и $\sqrt{121}<\sqrt{128}<\sqrt{144}$, то есть $11<8\sqrt{2}<12$, откуда $0<x_L<1$. Тогда $a_L=4-x_L=8\sqrt{2}-8$, и точка пересечения — $L\left(12-8\sqrt{2};8\sqrt{2}-8\right)$.

Множество решений системы в полосе. Снизу его ограничивает отрезок $CE$ (не входит), справа — отрезок $EF$ (входит без концов), сверху — дуга $GL$ параболы (входит без точки $L$) и отрезок $LF$ стороны квадрата (не входит), слева — отрезок $CG$ (входит без точки $C$).

Будем двигать горизонтальную прямую $a=\mathrm{const}$ снизу вверх: она начинает пересекать область сразу после точки $C$ и перестаёт пересекать её в точке $L$. Обоснуем это.

1. $a⩽-4$. Тогда $|x|+|a|⩾4$ при любом $x$, первое неравенство не выполняется — решений нет.

2. $-4<a⩽3$. Подходит $x=0$: $|0|+|a|<4$ и $16a⩽48$.

3. $3<a<8\sqrt{2}-8$. Подходит $x=x_L\in [0;1]$: $a<8\sqrt{2}-8=4-x_L$ (и $a>0>x_L-4$), то есть первое неравенство верно, и $a<g(x_L)=8\sqrt{2}-8$, то есть верно и второе.

4. $a⩾8\sqrt{2}-8$. При $x\in [0;x_L]$ функция $g$ возрастает, поэтому $g(x)⩽g(x_L)=8\sqrt{2}-8⩽a$, и второе неравенство может выполняться только при $x=x_L$ и $a=8\sqrt{2}-8$; но тогда $a=4-x_L$, и строгое первое неравенство нарушено. При $x\in (x_L;1]$ имеем $4-x<4-x_L=8\sqrt{2}-8⩽a$, и первое неравенство не выполняется. Решений на отрезке $[0;1]$ нет.

Итак, система имеет решение на отрезке $[0;1]$ ровно при $-4<a<8\sqrt{2}-8$.

Ответ: $a\in \left(-4;8\sqrt{2}-8\right)$.