ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}2x-1⩾0,\\ 4x-a>0,\\ 5x+a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{2x-1}\cdot (\ln (4x-a)-\ln (5x+a))=0.$$

На ОДЗ оба множителя определены, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из них. Функция $y=\ln t$ возрастает, поэтому при $u>0$, $v>0$ равенство $\ln u=\ln v$ равносильно $u=v$. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\sqrt{2x-1}=0,\\ 4x-a=5x+a\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{2},\\ x=-2a,\end{array}$$

где каждое из чисел — корень уравнения, только если оно удовлетворяет ОДЗ. Так как в ОДЗ $x⩾\frac{1}{2}$, корни на отрезке $[0;1]$ — это корни на отрезке $\left[\frac{1}{2};1\right]$.

Кандидат $x=\frac{1}{2}$. Он лежит на отрезке и удовлетворяет условию $2x-1⩾0$. Остальные условия ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}2-a>0,\\ \frac{5}{2}+a>0\end{array}\iff -\frac{5}{2}<a<2.$$

Кандидат $x=-2a$. Он лежит на отрезке $\left[\frac{1}{2};1\right]$, если

$$\frac{1}{2}⩽-2a⩽1\iff -\frac{1}{2}⩽a⩽-\frac{1}{4}.$$

При этом $2x-1⩾0$ выполнено, а $4x-a=-8a-a=-9a>0$ и $5x+a=-10a+a=-9a>0$, так как $a<0$. Значит, $x=-2a$ — корень на отрезке ровно при $a\in \left[-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right]$.

Кандидаты совпадают, если $-2a=\frac{1}{2}$, то есть при $a=-\frac{1}{4}$.

Посчитаем число корней на отрезке $[0;1]$:

• $a\in \left[-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$: этот промежуток лежит внутри $\left(-\frac{5}{2};2\right)$, поэтому корнями являются и $x=\frac{1}{2}$, и $x=-2a\ne \frac{1}{2}$ — два корня;
• $a=-\frac{1}{4}$: кандидаты совпадают, корень один — $x=\frac{1}{2}$;
• $a\in \left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{4};2\right)$: корень только $x=\frac{1}{2}$, так как $x=-2a$ не попадает на отрезок;
• $a⩽-\frac{5}{2}$ или $a⩾2$: $x=\frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ, а $x=-2a$ не попадает на отрезок — корней нет.

Ровно один корень получается во втором и третьем случаях:

Ответ: $a\in \left(-\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\cup \left[-\frac{1}{4};2\right)$.