ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты при степенях $a$:

$$x^2-2x=x(x-2),x^4-2x^3-8x+16=x^3(x-2)-8(x-2)=(x-2)\left(x^3-8\right),-8x^3+16x^2=-8x^2(x-2).$$

Вынесем общий множитель $x-2$:

$$(x-2)\left(x{a}^2+\left(x^3-8\right)a-8x^2\right)=0.$$

Сгруппируем слагаемые во второй скобке:

$$x{a}^2+x^{3}a-8a-8x^2=xa\left(a+x^2\right)-8\left(a+x^2\right)=\left(a+x^2\right)(xa-8).$$

Получаем уравнение

$$(x-2)\left(x^2+a\right)(xa-8)=0\iff [\begin{array}{l}x=2,\\ a=-x^2,\\ xa=8.\end{array}$$

При $x=0$ равенство $xa=8$ неверно, а при $x\ne 0$ оно равносильно $a=\frac{8}{x}$. Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$ (по вертикальной оси откладываем $a$): построим вертикальную прямую $x=2$, параболу $a=-x^2$ с вершиной $(0;0)$ и ветвями вниз и гиперболу $a=\frac{8}{x}$ с ветвями в I и III четвертях.

Найдём точки пересечения линий:

• $x=2$ и $a=-x^2$: $a=-4$, точка $(2;-4)$;
• $x=2$ и $a=\frac{8}{x}$: $a=4$, точка $(2;4)$;
• $a=-x^2$ и $a=\frac{8}{x}$: $-x^2=\frac{8}{x}$, $x^3=-8$, $x=-2$, $a=-4$, точка $(-2;-4)$.

При фиксированном $a$ число корней уравнения равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенными линиями. Характерные положения прямой: $a=-4$ (через точки $(-2;-4)$ и $(2;-4)$), $a=0$ (через вершину параболы, гиперболу не пересекает) и $a=4$ (через точку $(2;4)$).

Разберём все положения прямой, выписывая корни явно: $x=2$; $x=\frac{8}{a}$ при $a\ne 0$; $x=\pm \sqrt{-a}$ при $a⩽0$.

1. $a<-4$. Тогда $\frac{8}{a}\in (-2;0)$ и $\sqrt{-a}>2$, поэтому $-\sqrt{-a}<-2<\frac{8}{a}<0<2<\sqrt{-a}$ — четыре корня, не подходит.

2. $a=-4$. Корни $x=2$, $x=\frac{8}{-4}=-2$ и $x=\pm 2$. Различных корней два: $-2$ и $2$ — подходит.

3. $-4<a<0$. Тогда $\frac{8}{a}<-2$ и $\sqrt{-a}\in (0;2)$, поэтому $\frac{8}{a}<-2<-\sqrt{-a}<0<\sqrt{-a}<2$ — четыре корня, не подходит.

4. $a=0$. Равенство $xa=8$ превращается в $0=8$ и корней не даёт, из $x^2=0$ получаем $x=0$, и ещё есть $x=2$ — два корня, подходит.

5. $0<a<4$. Парабола корней не даёт, остаются $x=2$ и $x=\frac{8}{a}>2$ — два корня, подходит.

6. $a=4$. Корни $x=2$ и $x=\frac{8}{4}=2$ совпадают — один корень, не подходит.

7. $a>4$. Корни $x=2$ и $x=\frac{8}{a}\in (0;2)$ — два корня, подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in \{-4\}\cup [0;4)\cup (4;+\infty )$.