ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Переменная $x$ входит в систему только в виде $|x|$ и $x^2$. Поэтому если пара $(x_0;y_0)$ — решение системы, то и пара $(-x_0;y_0)$ — тоже решение. При $x_0\ne 0$ это два разных решения. Значит, единственным решение может быть, только если $x_0=-x_0$, то есть $x_0=0$.

Необходимое условие. Подставим $x=0$ в систему. Из второго уравнения $y^2=1$, то есть $y=\pm 1$. Первое уравнение даёт

$$2^{0+3}+0+1=8y+0+a,9=8y+a.$$

При $y=1$ получаем $a=1$, при $y=-1$ получаем $a=17$. При остальных значениях $a$ решение с $x=0$ отсутствует, а решения с $x\ne 0$ идут парами, поэтому единственного решения нет. Проверим найденные значения.

Проверка $a=1$. Первое уравнение принимает вид $2^{|x|+3}+7|x|+1=8y+7x^2+1$, то есть

$$8\cdot 2^{|x|}+7|x|=8y+7x^2.$$

Из второго уравнения $x^2=1-y^2⩽1$ и $y^2=1-x^2⩽1$, поэтому $|x|⩽1$ и $y⩽1$. Оценим обе части уравнения.

Левая часть: $2^{|x|}⩾2^0=1$, поэтому $8\cdot 2^{|x|}+7|x|⩾8+7|x|$.

Правая часть: при $|x|⩽1$ верно $x^2=|x|\cdot |x|⩽|x|$, а $y⩽1$, поэтому $8y+7x^2⩽8+7|x|$.

Получаем цепочку

$$8\cdot 2^{|x|}+7|x|⩾8+7|x|⩾8y+7x^2.$$

Равенство крайних частей возможно, только если оба неравенства обращаются в равенства: $2^{|x|}=1$, то есть $x=0$, и $y=1$. Пара $(0;1)$ удовлетворяет и второму уравнению. Значит, при $a=1$ система имеет единственное решение $(0;1)$, и это значение подходит.

Проверка $a=17$. Пара $(0;-1)$ — решение по построению. Найдём ещё одно, взяв на окружности точку $(1;0)$: второе уравнение $1^2+0^2=1$ верно, а первое даёт

$$2^{1+3}+7\cdot 1+1=24,8\cdot 0+7\cdot 1^2+17=24$$

— тоже верно. Значит, решений не меньше двух (вместе с $(1;0)$ решением является и $(-1;0)$), и значение $a=17$ не подходит.

Ответ: $a=1$.