ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициент при $a$ и свободный член:

$$x^3+x+2=(x+1)\left(x^2-x+2\right),$$

$$-x^4+x^3+2x^2=-x^2\left(x^2-x-2\right)=-x^2(x+1)(x-2).$$

Первое разложение проверяется раскрытием скобок: $(x+1)\left(x^2-x+2\right)=x^3-x^2+2x+x^2-x+2=x^3+x+2$. Во втором трёхчлен $x^2-x-2$ имеет корни $-1$ и $2$.

Все слагаемые содержат множитель $x+1$. Вынесем его:

$$(x+1)\left(a^2+\left(x^2-x+2\right)a-x^2(x-2)\right)=0.$$

Рассмотрим вторую скобку как квадратный трёхчлен относительно $a$. По теореме, обратной теореме Виета, его корни $a_1$ и $a_2$ — числа с суммой $-\left(x^2-x+2\right)$ и произведением $-x^2(x-2)$. Такими числами являются $-x^2$ и $x-2$:

$$-x^2+(x-2)=-\left(x^2-x+2\right),\left(-x^2\right)\cdot (x-2)=-x^2(x-2).$$

Поэтому $a^2+\left(x^2-x+2\right)a-x^2(x-2)=\left(a+x^2\right)(a-x+2)$, и уравнение принимает вид

$$(x+1)\left(a+x^2\right)(a-x+2)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1,\\ a=-x^2,\\ a=x-2.\end{array}$$

Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$ (по вертикальной оси откладываем $a$): построим вертикальную прямую $x=-1$, параболу $a=-x^2$ с вершиной $(0;0)$ и ветвями вниз и прямую $a=x-2$.

При фиксированном $a$ число корней равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенными линиями. Найдём точки пересечения линий — в них два корня сливаются в один:

• $x=-1$ и $a=-x^2$: точка $(-1;-1)$;
• $x=-1$ и $a=x-2$: точка $(-1;-3)$;
• $a=-x^2$ и $a=x-2$: $-x^2=x-2$, $x^2+x-2=0$, $x=1$ или $x=-2$ — точки $(1;-1)$ и $(-2;-4)$.

Ещё одно характерное положение — прямая $a=0$, которая касается параболы в вершине.

Будем двигать горизонтальную прямую снизу вверх. При каждом $a$ корни такие: $x=-1$ (всегда), $x=a+2$ (всегда) и $x=\pm \sqrt{-a}$ (при $a⩽0$). Выясним, когда эти числа совпадают:

• $a+2=-1$ при $a=-3$;
• $\sqrt{-a}=1$, то есть $-\sqrt{-a}=-1$, при $a=-1$;
• $a+2=\pm \sqrt{-a}$ влечёт $(a+2{)}^2=-a$, $a^2+5a+4=0$, $a=-1$ или $a=-4$ (это точки $(1;-1)$ и $(-2;-4)$).

При остальных $a$ все выписанные корни различны.

1. $a<-4$. Прямая пересекает параболу в двух точках, прямую $a=x-2$ и прямую $x=-1$ — по одной точке. Совпадений нет, корней четыре — не подходит.

2. Положение I: $a=-4$. Корни $-1$, $a+2=-2$ и $\pm 2$, различных среди них три: $-2$, $-1$, $2$ — не подходит.

3. $-4<a<-3$. Корни $-1$, $a+2$ и $\pm \sqrt{-a}$, совпадений нет — четыре корня, не подходит.

4. Положение II: $a=-3$. Корень $a+2=-1$ совпадает с $x=-1$, остаются $-1$ и $\pm \sqrt{3}$ — три корня, не подходит.

5. $-3<a<-1$. Совпадений нет — четыре корня, не подходит.

6. Положение III: $a=-1$. Корни $-1$, $a+2=1$ и $\pm 1$. Различных корней ровно два: $-1$ и $1$ — подходит.

7. $-1<a<0$. Совпадений нет — четыре корня, не подходит.

8. Положение IV: $a=0$. Парабола даёт один корень $x=0$, и ещё есть $-1$ и $2$ — три корня, не подходит.

9. $a>0$. Парабола целиком лежит ниже прямой $a=\mathrm{const}$ и корней не даёт, остаются $x=-1$ и $x=a+2>2$ — ровно два корня, подходит.

Ответ: $a\in \{-1\}\cup (0;+\infty )$.