Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a(x+1/x)²+5(x+1/x)-9a+15=0 имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Многочлены и параметр средняя 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$a (x + \frac{1}{x})^{2} + 5 (x + \frac{1}{x}) - 9 a + 15 = 0$

имеет ровно два различных корня.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x \neq = 0$ .

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$ . Уравнение примет вид

$a t^{2} + 5 t - 9 a + 15 = 0. (1)$

Сначала исследуем замену: сколько корней $x$ даёт каждое значение $t$ . Умножим равенство $x + \frac{1}{x} = t$ на $x \neq = 0$ :

$x^{2} - t x + 1 = 0.$

Число $x = 0$ корнем этого уравнения не является, поэтому переход равносилен. Его дискриминант равен $t^{2} - 4$ . Значит:

при $∣ t ∣ > 2$ — два различных корня $x$ ;
при $∣ t ∣ = 2$ — один корень ( $x = 1$ при $t = 2$ , $x = - 1$ при $t = - 2$ );
при $∣ t ∣ < 2$ — корней нет.

Каждому $x$ соответствует только одно значение $t$ , поэтому корни $x$ , полученные из разных значений $t$ , не совпадают.

Случай $a = 0$ . Уравнение (1) становится линейным: $5 t + 15 = 0$ , $t = - 3$ . Так как $∣ - 3∣ > 2$ , получаем два корня: $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ , $D = 9 - 4 = 5$ , $x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$ . Значение $a = 0$ подходит.

Случай $a \neq = 0$ . Уравнение (1) квадратное. Найдём дискриминант:

$D = 5^{2} - 4 a (15 - 9 a) = 36 a^{2} - 60 a + 25 = (6 a - 5)^{2} .$

Корни (знак $\pm$ позволяет записать $D$ как $6 a - 5$ без модуля):

$t_{1} = \frac{- 5 - ( 6 a - 5 )}{2 a} = \frac{- 6 a}{2 a} = - 3, t_{2} = \frac{- 5 + ( 6 a - 5 )}{2 a} = \frac{6 a - 10}{2 a} = \frac{3 a - 5}{a} .$

Значение $t_{1} = - 3$ всегда даёт два корня $x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$ . Поэтому корней будет ровно два тогда и только тогда, когда значение $t_{2}$ не добавляет новых корней. Это бывает в двух случаях.

$t_{2}$ совпадает с $t_{1}$ :

$\frac{3 a - 5}{a} = - 3 \Leftrightarrow 3 a - 5 = - 3 a \Leftrightarrow a = \frac{5}{6} .$

Уравнение $x + \frac{1}{x} = \frac{3 a - 5}{a}$ не имеет корней. Умножим его на $a x \neq = 0$ :

$a x^{2} - (3 a - 5) x + a = 0.$

При $a \neq = 0$ это квадратное уравнение, и $x = 0$ его корнем не является. Корней нет при отрицательном дискриминанте:

$D = (3 a - 5)^{2} - 4 a^{2} = 5 a^{2} - 30 a + 25 = 5 (a^{2} - 6 a + 5) = 5 (a - 1) (a - 5) < 0.$

Решим неравенство $(a - 1) (a - 5) < 0$ методом интервалов:

Рисунок к решению

Получаем $1 < a < 5$ .

При остальных $a \neq = 0$ значение $t_{2}$ даёт один корень (при $a = 1$ получаем $t_{2} = - 2$ , при $a = 5$ получаем $t_{2} = 2$ ) или два новых корня, и всего корней три или четыре.

Объединим все найденные значения параметра:

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in {0; \frac{5}{6}} \cup (1; 5)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19