ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем модуль по определению и рассмотрим два случая.

Случай 1: $x⩾0$. Тогда $|x|=x$, и уравнение принимает вид

$$a^2-ax-2x^2-6a+12x=0,a^2-(x+6)a+\left(12x-2x^2\right)=0.$$

Будем рассматривать его как квадратное относительно $a$. Найдём дискриминант:

$$D=(x+6{)}^2-4\left(12x-2x^2\right)=x^2+12x+36-48x+8x^2=9x^2-36x+36=9(x-2{)}^2.$$

Тогда $\sqrt{D}=3|x-2|$, а так как перед корнем стоит знак $\pm$, модуль можно не раскрывать:

$$a=\frac{x+6\pm 3(x-2)}{2},a=\frac{4x}{2}=2x\text{или}a=\frac{12-2x}{2}=6-x.$$

Случай 2: $x<0$. Тогда $|x|=-x$, и уравнение принимает вид

$$a^2-ax-2x^2-6a-6x=0,a^2-(x+6)a-\left(2x^2+6x\right)=0.$$

$$D=(x+6{)}^2+4\left(2x^2+6x\right)=x^2+12x+36+8x^2+24x=9x^2+36x+36=9(x+2{)}^2,$$

$$a=\frac{x+6\pm 3(x+2)}{2},a=\frac{4x+12}{2}=2x+6\text{или}a=\frac{-2x}{2}=-x.$$

Итак, на плоскости $(x;a)$ (по вертикальной оси откладываем $a$) множество решений уравнения состоит из четырёх лучей:

$$a=2x\text{и}a=6-x\text{при}x⩾0;a=2x+6\text{и}a=-x\text{при}x<0.$$

Лучи $a=2x$ и $a=-x$ выходят из точки $(0;0)$, лучи $a=6-x$ и $a=2x+6$ — из точки $(0;6)$. Сами эти точки принадлежат лучам, построенным при $x⩾0$.

При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с лучами. Выразим $x$ через $a$ на каждом луче:

• $a=2x$, $x⩾0$: $x=\frac{a}{2}$, этот корень есть при $a⩾0$;
• $a=6-x$, $x⩾0$: $x=6-a$, этот корень есть при $a⩽6$;
• $a=2x+6$, $x<0$: $x=\frac{a-6}{2}$, этот корень есть при $a<6$;
• $a=-x$, $x<0$: $x=-a$, этот корень есть при $a>0$.

Корни с первых двух лучей неотрицательны, а с последних двух — отрицательны, поэтому совпасть могут только корни внутри каждой пары. Это точки пересечения лучей:

$$\frac{a}{2}=6-a\iff a=4\text{(точка }(2;4)\text{)},\frac{a-6}{2}=-a\iff a=2\text{(точка }(-2;2)\text{)}.$$

Четыре различных корня получаются, только если каждый луч даёт корень, то есть $a⩾0$, $a⩽6$, $a<6$ и $a>0$, откуда $0<a<6$, и при этом корни не совпадают: $a\ne 2$, $a\ne 4$.

Проверим граничные положения прямой (на рисунке пунктиром):

• $a⩽0$: луч $a=-x$ корня не даёт, корней не больше трёх (при $a=0$ это $x=0$, $x=6$, $x=-3$);
• $a=2$: корни $x=1$, $x=4$ и совпавший корень $x=-2$ — три корня;
• $a=4$: корни $x=-1$, $x=-4$ и совпавший корень $x=2$ — три корня;
• $a=6$: корни $x=3$, $x=0$, $x=-6$ — три корня, а при $a>6$ остаются только $x=\frac{a}{2}$ и $x=-a$.

Значит, четыре различных корня уравнение имеет ровно при $a\in (0;2)\cup (2;4)\cup (4;6)$.

Ответ: $a\in (0;2)\cup (2;4)\cup (4;6)$.