ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты при степенях $a$:

$$x^2-x=x(x-1),x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)\left(x^3-1\right),-x^3+x^2=-x^2(x-1).$$

Все три слагаемых содержат множитель $x-1$. Вынесем его за скобку:

$$(x-1)\left(x{a}^2+\left(x^3-1\right)a-x^2\right)=0.$$

Во второй скобке раскроем $\left(x^3-1\right)a$ и сгруппируем слагаемые:

$$x{a}^2+x^{3}a-a-x^2=xa\left(a+x^2\right)-\left(a+x^2\right)=\left(a+x^2\right)(ax-1).$$

Получаем уравнение

$$(x-1)(ax-1)\left(x^2+a\right)=0.$$

Все множители определены при любых $x$ и $a$, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один множитель:

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ ax=1,\\ a=-x^2.\end{array}$$

Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$ (на рисунке по вертикальной оси откладываем $a$).

Уравнение $x=1$ задаёт вертикальную прямую. При $x=0$ равенство $ax=1$ неверно, а при $x\ne 0$ оно равносильно $a=\frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях. Уравнение $a=-x^2$ задаёт параболу с вершиной $(0;0)$ и ветвями вниз.

При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенными линиями. Точка, в которой пересекаются две линии, даёт один корень, поэтому найдём такие точки:

• $x=1$ и $a=\frac{1}{x}$: $a=1$, точка $(1;1)$;
• $x=1$ и $a=-x^2$: $a=-1$, точка $(1;-1)$;
• $a=\frac{1}{x}$ и $a=-x^2$: $\frac{1}{x}=-x^2$, $x^3=-1$, $x=-1$, $a=-1$, точка $(-1;-1)$.

Характерные положения горизонтальной прямой: $a=-1$ (проходит через точки $(-1;-1)$ и $(1;-1)$), $a=0$ (проходит через вершину параболы, а гиперболу не пересекает) и $a=1$ (проходит через точку $(1;1)$).

Разберём все положения прямой, выписывая корни явно: $x=1$; $x=\frac{1}{a}$ при $a\ne 0$; $x=\pm \sqrt{-a}$ при $a⩽0$.

1. $a<-1$. Тогда $\frac{1}{a}\in (-1;0)$ и $\sqrt{-a}>1$, поэтому $-\sqrt{-a}<-1<\frac{1}{a}<0<1<\sqrt{-a}$. Четыре различных корня — не подходит.

2. $a=-1$. Корни $x=1$, $x=\frac{1}{-1}=-1$, $x=\pm 1$. Различных корней два: $-1$ и $1$. Подходит.

3. $-1<a<0$. Тогда $\frac{1}{a}<-1$ и $\sqrt{-a}\in (0;1)$, поэтому $\frac{1}{a}<-1<-\sqrt{-a}<0<\sqrt{-a}<1$. Четыре различных корня — не подходит.

4. $a=0$. Уравнение $ax=1$ превращается в $0=1$ и корней не даёт, из $x^2=0$ получаем $x=0$, и ещё есть $x=1$. Два корня — подходит.

5. $0<a<1$. Парабола корней не даёт ($x^2=-a<0$), остаются $x=1$ и $x=\frac{1}{a}>1$. Два корня — подходит.

6. $a=1$. Корни $x=1$ и $x=\frac{1}{1}=1$ совпадают. Один корень — не подходит.

7. $a>1$. Корни $x=1$ и $x=\frac{1}{a}\in (0;1)$. Два корня — подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in \{-1\}\cup [0;1)\cup (1;+\infty )$.