ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Выразим $\cos 2x$ через синус по формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ и раскроем скобки в правой части:

$$5\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+1=6\sin x-8{\sin }^{2}x-2a\sin x;$$

$$6-10{\sin }^{2}x=6\sin x-8{\sin }^{2}x-2a\sin x.$$

Перенесём все слагаемые в одну часть и приведём подобные:

$$2{\sin }^{2}x-2(a-3)\sin x-6=0\iff {\sin }^{2}x-(a-3)\sin x-3=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$. Уравнение $\sin x=t$ при $t\in [-1;1]$ имеет бесконечно много решений, а при $|t|>1$ решений не имеет. Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда уравнение

$$t^2-(a-3)t-3=0(1)$$

имеет хотя бы один корень на отрезке $[-1;1]$.

Число $t=0$ корнем уравнения (1) не является: $0-0-3\ne 0$. Перепишем (1) в виде

$$t^2-3=(a-3)t$$

и будем решать задачу графически в плоскости $(t;y)$ (на рисунке по горизонтальной оси откладываем $t$).

Левая часть задаёт параболу $y=t^2-3$ с вершиной $(0;-3)$ и ветвями вверх. Нас интересует только её дуга над отрезком $[-1;1]$. Найдём концы дуги: при $t=\pm 1$ получаем $y=1-3=-2$, то есть это точки $(-1;-2)$ и $(1;-2)$.

Правая часть задаёт пучок прямых $y=kt$, где $k=a-3$, — все они проходят через начало координат $O(0;0)$. Корни уравнения (1) на отрезке $[-1;1]$ — это абсциссы общих точек прямой пучка с дугой.

Найдём граничные положения прямой.

Положение I: прямая проходит через правый конец дуги $(1;-2)$. Тогда $-2=k\cdot 1$, $k=-2$, то есть $a-3=-2$, $a=1$.

Положение II: прямая проходит через левый конец дуги $(-1;-2)$. Тогда $-2=k\cdot (-1)$, $k=2$, то есть $a-3=2$, $a=5$.

По рисунку видно: прямые с угловым коэффициентом $k⩽-2$ (положение I и прямые, идущие вправо вниз ещё круче) и $k⩾2$ (положение II и прямые, идущие влево вниз ещё круче) пересекают дугу, а прямые между положениями I и II проходят выше неё. Обоснуем это. Вся дуга лежит в полосе $-3⩽y⩽-2$.

1. Пусть $-2<k<2$. При $t\in (0;1]$ имеем $kt>-2t⩾-2⩾t^2-3$ (первое неравенство — умножение $k>-2$ на положительное $t$, второе — из $t⩽1$, третье — из $t^2⩽1$). При $t\in [-1;0)$ имеем $kt>2t⩾-2⩾t^2-3$ (при умножении $k<2$ на отрицательное $t$ знак меняется, а $2t⩾-2$ из $t⩾-1$). Значит, прямая проходит строго выше дуги, и уравнение (1) корней на $[-1;1]$ не имеет.

2. Пусть $k⩽-2$. Рассмотрим непрерывную функцию $f(t)=t^2-kt-3$. Имеем $f(0)=-3<0$ и $f(1)=-2-k⩾0$. Значит, на промежутке $(0;1]$ функция обращается в ноль, и корень на отрезке есть.

3. Пусть $k⩾2$. Тогда $f(-1)=1+k-3=k-2⩾0$ и $f(0)=-3<0$, поэтому корень есть на промежутке $[-1;0)$.

Итак, уравнение (1) имеет корень на $[-1;1]$ тогда и только тогда, когда $k⩽-2$ или $k⩾2$:

$$a-3⩽-2\text{или}a-3⩾2\iff a⩽1\text{или}a⩾5.$$

Ответ: $a\in (-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$.