ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}9x^2-a^2=0,\\ x^2+8x+16-a^2\ne 0.\end{array}$$

Первое уравнение: $9x^2=a^2$, то есть $x=\frac{a}{3}$ или $x=-\frac{a}{3}$.

Второе условие: $(x+4{)}^2\ne a^2$, то есть $x+4\ne a$ и $x+4\ne -a$. Значит, $x\ne a-4$ и $x\ne -a-4$.

Уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда корни числителя $\pm \frac{a}{3}$ различны и ни один из них не обращает знаменатель в ноль.

Корни числителя совпадают при $\frac{a}{3}=-\frac{a}{3}$, то есть при $a=0$. Тогда корень один: $x=0$ (знаменатель равен $16\ne 0$). Значение $a=0$ не подходит.

Найдём, когда корень числителя совпадает с корнем знаменателя:

1. $\frac{a}{3}=a-4\iff a=6$;

2. $\frac{a}{3}=-a-4\iff \frac{4a}{3}=-4\iff a=-3$;

3. $-\frac{a}{3}=a-4\iff -\frac{4a}{3}=-4\iff a=3$;

4. $-\frac{a}{3}=-a-4\iff \frac{2a}{3}=-4\iff a=-6$.

При каждом из этих значений один из двух корней числителя выпадает, и остаётся один корень. Например, при $a=6$ корни числителя $\pm 2$, нули знаменателя $2$ и $-10$, остаётся только $x=-2$. При всех остальных $a\ne 0$ корни $\pm \frac{a}{3}$ различны и оба подходят.

Это хорошо видно на плоскости $(x;a)$: корни числителя — прямые $a=3x$ и $a=-3x$, нули знаменателя — прямые $a=x+4$ и $a=-x-4$ (пунктир). Точки их пересечения $(2;6)$, $(-1;-3)$, $(-1;3)$, $(2;-6)$ выколоты, и горизонтальная прямая на высоте $a=\pm 3$ или $a=\pm 6$ пересекает множество решений только в одной точке, как и прямая $a=0$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-6)\cup (-6;-3)\cup (-3;0)\cup (0;3)\cup (3;6)\cup (6;+\infty )$.