ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=\cos x$. Когда $x$ пробегает все действительные числа, $t$ пробегает весь отрезок $[-1;1]$. Поэтому неравенство выполнено при всех $x$ тогда и только тогда, когда при всех $t\in [-1;1]$ выполнено

$$f(t)=14t-\left|5t+a^2-44\right|-|4t+a-3|+\left|a^2+a-56\right|+14⩾0.$$

При фиксированном $a$ функция $f$ непрерывна и кусочно-линейна. На каждом участке, где выражения под модулями сохраняют знак, модули раскрываются со знаками «плюс» или «минус», и угловой коэффициент равен $14\pm 5\pm 4$. Наименьшее возможное значение $14-5-4=5>0$, поэтому на каждом участке функция возрастает, а значит, возрастает и на всём отрезке $[-1;1]$. Наименьшее значение она принимает при $t=-1$, и условие задачи равносильно неравенству $f(-1)⩾0$.

Вычислим $f(-1)$:

$$f(-1)=-14-\left|a^2-49\right|-|a-7|+\left|a^2+a-56\right|+14=\left|a^2+a-56\right|-\left|a^2-49\right|-|a-7|.$$

Разложим выражения на множители: $a^2+a-56=(a+8)(a-7)$ (корни $-8$ и $7$ по теореме, обратной теореме Виета), $a^2-49=(a-7)(a+7)$. Модуль произведения равен произведению модулей, поэтому

$$f(-1)=|a-7|\cdot |a+8|-|a-7|\cdot |a+7|-|a-7|=|a-7|(|a+8|-|a+7|-1).$$

Множитель $|a-7|$ неотрицателен. Значит, $f(-1)⩾0$ тогда и только тогда, когда

$$[\begin{array}{l}a=7,\\ |a+8|-|a+7|-1⩾0.\end{array}$$

Решим неравенство $|a+8|-|a+7|-1⩾0$, раскрывая модули на промежутках. Нули подмодульных выражений: $-8$ и $-7$.

1. $a⩽-8$: $-(a+8)+(a+7)-1=-2⩾0$ — неверно, решений нет.

2. $-8<a⩽-7$: $(a+8)+(a+7)-1=2a+14⩾0$, откуда $a⩾-7$. С учётом промежутка остаётся $a=-7$.

3. $a>-7$: $(a+8)-(a+7)-1=0⩾0$ — верно при всех $a$ промежутка.

Неравенство выполнено при $a⩾-7$. Значение $a=7$ в это множество уже входит.

Ответ: $a\in [-7;+\infty )$.