ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Из первого уравнения $y=4x+a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $4$.

Второе уравнение запишем в виде

$$|y|=\frac{x^2-4x}{2}.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому решения есть только при $x^2-4x⩾0$, то есть при $x(x-4)⩾0$: $x⩽0$ или $x⩾4$. При таких $x$ уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}y=\frac{x^2-4x}{2},\\ y=-\frac{x^2-4x}{2}.\end{array}$$

Значит, второе уравнение задаёт две части парабол над промежутками $x⩽0$ и $x⩾4$: верхнюю ${\Gamma }_1$ (где $y⩾0$) и нижнюю ${\Gamma }_2$ (где $y⩽0$). Общие точки у них только там, где $y=0$, то есть $O(0;0)$ и $P(4;0)$.

Подставим $y=4x+a$ и посчитаем решения на каждой части.

Часть ${\Gamma }_1$. $\frac{x^2-4x}{2}=4x+a\iff x^2-12x-2a=0$, причём нужно $x⩽0$ или $x⩾4$. Корни существуют при $\frac{D}{4}=36+2a⩾0$, то есть при $a⩾-18$:

$$x=6\pm \sqrt{36+2a}.$$

Корень $6+\sqrt{36+2a}⩾6$ подходит всегда. Корень $6-\sqrt{36+2a}$ подходит, если $6-\sqrt{36+2a}⩽0$, то есть $36+2a⩾36$, $a⩾0$; или если $6-\sqrt{36+2a}⩾4$, то есть $36+2a⩽4$, $a⩽-16$. При $a=-18$ корни совпадают ($x=6$): прямая касается параболы в точке $(6;6)$.

Итого на ${\Gamma }_1$: при $a<-18$ — $0$ решений, при $a=-18$ — $1$, при $-18<a⩽-16$ — $2$, при $-16<a<0$ — $1$, при $a⩾0$ — $2$.

Часть ${\Gamma }_2$. $-\frac{x^2-4x}{2}=4x+a\iff x^2+4x+2a=0$, причём $x⩽0$ или $x⩾4$. Корни существуют при $\frac{D}{4}=4-2a⩾0$, то есть при $a⩽2$:

$$x=-2\pm \sqrt{4-2a}.$$

Корень $-2-\sqrt{4-2a}⩽-2$ подходит всегда. Корень $-2+\sqrt{4-2a}$ подходит, если $-2+\sqrt{4-2a}⩽0$, то есть $4-2a⩽4$, $a⩾0$; или если $-2+\sqrt{4-2a}⩾4$, то есть $4-2a⩾36$, $a⩽-16$. При $a=2$ корни совпадают ($x=-2$): касание в точке $(-2;-6)$.

Итого на ${\Gamma }_2$: при $a⩽-16$ — $2$ решения, при $-16<a<0$ — $1$, при $0⩽a<2$ — $2$, при $a=2$ — $1$, при $a>2$ — $0$.

Совпадения. Решение с ${\Gamma }_1$ и решение с ${\Gamma }_2$ совпадают, только если это точка $O$ или $P$. Прямая проходит через $O(0;0)$ при $a=0$, через $P(4;0)$ — при $0=16+a$, то есть $a=-16$. В этих случаях одно решение посчитано дважды.

Сведём подсчёт в таблицу:

$$\begin{array}{ccccc}a& {\Gamma }_1& {\Gamma }_2& \text{совпадений}& \text{всего решений}\\ a<-18& 0& 2& 0& 2\\ a=-18& 1& 2& 0& 3\\ -18<a<-16& 2& 2& 0& 4\\ a=-16& 2& 2& 1& 3\\ -16<a<0& 1& 1& 0& 2\\ a=0& 2& 2& 1& 3\\ 0<a<2& 2& 2& 0& 4\\ a=2& 2& 1& 0& 3\\ a>2& 2& 0& 0& 2\end{array}$$

На рисунке пунктиром показаны граничные положения прямой: касательные при $a=2$ и $a=-18$ и прямые через точки $O$ ($a=0$) и $P$ ($a=-16$).

Ровно два решения система имеет при $a<-18$, при $-16<a<0$ и при $a>2$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-18)\cup (-16;0)\cup (2;+\infty )$.