ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Перепишем уравнение в виде

$$x|x|+2=(a-1)x.(\ast )$$

Обозначим $k=a-1$. Корни уравнения — абсциссы общих точек графика $y=x|x|+2$ и прямой $y=kx$.

При $x⩾0$ левая часть равна $x^2+2$ — это правая половина параболы с вершиной $(0;2)$ и ветвями вверх. При $x<0$ левая часть равна $-x^2+2$ — левая половина параболы с той же вершиной и ветвями вниз. Прямые $y=kx$ при разных $a$ образуют пучок прямых, проходящих через начало координат.

Число $x=0$ корнем не является: левая часть равна $2$, правая — $0$.

**Корни при $x<0$.** Уравнение принимает вид $-x^2+2=kx$, то есть $x^2+kx-2=0$. Его дискриминант $k^2+8>0$, а произведение корней по теореме Виета равно $-2<0$. Значит, корни разных знаков, и отрицательный корень ровно один при любом $a$. На графике: левая ветвь опускается от точки $(0;2)$ до $-\infty$, и любая прямая пучка пересекает её ровно один раз.

Корни при $x>0$. Уравнение принимает вид $x^2+2=kx$, то есть $x^2-kx+2=0$. Произведение корней равно $2>0$, поэтому корни (если они есть) одного знака, а их сумма равна $k$.

• Если $D=k^2-8<0$, то есть $|k|<2\sqrt{2}$, корней нет.
• Если $k⩽-2\sqrt{2}$, сумма корней отрицательна, оба корня отрицательны — положительных корней нет.
• Если $k=2\sqrt{2}$, корень один: $x=\frac{k}{2}=\sqrt{2}>0$. Прямая касается правой ветви в точке $K\left(\sqrt{2};4\right)$.
• Если $k>2\sqrt{2}$, сумма корней положительна, и оба корня положительны — их два.

Заметим, что значение $k=-2\sqrt{2}$ (то есть $a=1-2\sqrt{2}$) тоже даёт $D=0$, но точка касания $x=-\sqrt{2}$ лежит на той половине параболы $y=x^2+2$, которой нет на нашем графике.

Итак, уравнение $(\ast )$ имеет один корень при $k<2\sqrt{2}$, два корня при $k=2\sqrt{2}$ и три корня при $k>2\sqrt{2}$.

На рисунке пунктиром показано граничное положение — касательная $y=2\sqrt{2}x$ ($a=1+2\sqrt{2}$), тонкими линиями — прямые при $a=2$ и $a=0$, у каждой одна общая точка с графиком.

Решение единственно при $a-1<2\sqrt{2}$, то есть при $a<1+2\sqrt{2}$.

Тот же ответ можно получить, выразив параметр. При $x\ne 0$ разделим уравнение на $x$: $a=|x|+1+\frac{2}{x}$. При $x<0$ правая часть убывает от $+\infty$ до $-\infty$ и даёт ровно один корень при любом $a$, а при $x>0$ по неравенству о средних $x+\frac{2}{x}⩾2\sqrt{2}$, поэтому корни с $x>0$ появляются только при $a⩾1+2\sqrt{2}$.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;1+2\sqrt{2}\right)$.