ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть и запишем их парами:

$$a{x}^4+a{x}^3-2x^3-2x^2+\left(a^3-a\right)x^2+\left(a^3-a\right)x-\left(2a^2-2\right)x-\left(2a^2-2\right)=0.$$

В каждой паре вынесем общий множитель, а затем множитель $x+1$:

$$a{x}^3(x+1)-2x^2(x+1)+\left(a^3-a\right)x(x+1)-\left(2a^2-2\right)(x+1)=0,$$

$$(x+1)\left(a{x}^3-2x^2+\left(a^3-a\right)x-2\left(a^2-1\right)\right)=0.$$

Во второй скобке учтём, что $a^3-a=a\left(a^2-1\right)$, и сгруппируем:

$$ax\left(x^2+a^2-1\right)-2\left(x^2+a^2-1\right)=(ax-2)\left(x^2+a^2-1\right).$$

Уравнение принимает вид

$$(x+1)(ax-2)\left(x^2+a^2-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1,\\ ax=2,\\ x^2+a^2=1.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. Уравнение $x=-1$ задаёт вертикальную прямую, уравнение $ax=2$ — гиперболу $a=\frac{2}{x}$ (при $a=0$ оно корней не имеет), уравнение $x^2+a^2=1$ — окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $1$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек этих линий на горизонтальной прямой на высоте $a$, причём совпадающие точки считаются один раз.

Найдём общие точки линий — в них корни могут совпасть.

Прямая и окружность: при $x=-1$ получаем $1+a^2=1$, $a=0$ — точка $(-1;0)$.

Прямая и гипербола: при $x=-1$ получаем $a=-2$ — точка $(-1;-2)$.

Гипербола и окружность: подставим $a=\frac{2}{x}$ в уравнение окружности:

$$x^2+\frac{4}{x^2}=1\iff x^4-x^2+4=0,D=1-16<0.$$

Общих точек нет.

Теперь посчитаем точки на прямой $a=c$. Прямая $x=-1$ даёт всегда одну точку $(-1;c)$. Гипербола даёт одну точку $\left(\frac{2}{c};c\right)$ при $c\ne 0$ и ни одной при $c=0$. Окружность даёт две точки $\left(\pm \sqrt{1-c^2};c\right)$ при $|c|<1$, одну точку $(0;c)$ при $|c|=1$ (горизонтальные касательные в верхней и нижней точках окружности) и ни одной при $|c|>1$.

При $a>1$: прямая и гипербола — $2$ корня.

При $a=1$: прямая, гипербола и точка касания $(0;1)$ — $3$ корня.

При $0<a<1$: $1+1+2=4$ корня.

При $a=0$: гиперболы нет, точка окружности $(-1;0)$ совпадает с точкой прямой, остаётся ещё точка $(1;0)$ — $2$ корня ($x=\pm 1$).

При $-1<a<0$: $4$ корня.

При $a=-1$: $3$ корня.

При $-2<a<-1$: прямая и гипербола — $2$ корня.

При $a=-2$: точка гиперболы совпадает с точкой прямой $(-1;-2)$ — $1$ корень.

При $a<-2$: $2$ корня.

На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, пунктиром показаны граничные положения $a=1$, $a=-1$, $a=-2$ (положение $a=0$ совпадает с осью абсцисс).

Ровно два корня уравнение имеет при $a<-2$, при $-2<a<-1$, при $a=0$ и при $a>1$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;-1)\cup \{0\}\cup (1;+\infty )$.