ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=g(x)$, где

$$g(x)=4x-3\left|x+a^2\right|+|x-1|+3a^2.$$

Уравнение принимает вид

$$t^2-(a+1)t+4=0.$$

Исследуем функцию $g$. Нули подмодульных выражений: $x=-a^2$ и $x=1$. Так как $-a^2⩽0<1$, при любом $a$ точка $-a^2$ лежит левее точки $1$.

Раскроем модули на трёх промежутках.

Если $x⩽-a^2$, то $x+a^2⩽0$ и $x-1<0$:

$$g(x)=4x+3\left(x+a^2\right)-(x-1)+3a^2=6x+6a^2+1.$$

Если $-a^2<x<1$, то $x+a^2>0$ и $x-1<0$:

$$g(x)=4x-3\left(x+a^2\right)-(x-1)+3a^2=1.$$

Если $x⩾1$, то оба подмодульных выражения неотрицательны:

$$g(x)=4x-3\left(x+a^2\right)+(x-1)+3a^2=2x-1.$$

На луче $x⩽-a^2$ функция возрастает от $-\infty$ до $g\left(-a^2\right)=1$, на отрезке $\left[-a^2;1\right]$ она постоянна и равна $1$, на луче $x⩾1$ возрастает от $1$ до $+\infty$. Поэтому:

• каждое значение $t_0<1$ функция принимает ровно в одной точке (на левом луче);
• каждое значение $t_0>1$ — ровно в одной точке (на правом луче);
• значение $t_0=1$ — во всех точках отрезка $\left[-a^2;1\right]$, то есть бесконечно много раз (длина отрезка $1+a^2>0$).

Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда уравнение $t^2-(a+1)t+4=0$ имеет два различных корня и ни один из них не равен $1$.

Два различных корня — при положительном дискриминанте:

$$D=(a+1{)}^2-16>0\iff (a+1-4)(a+1+4)>0\iff (a-3)(a+5)>0.$$

Получаем $a<-5$ или $a>3$.

Число $t=1$ является корнем, если $1-(a+1)+4=0$, то есть при $a=4$. Тогда $t=1$ даёт бесконечно много корней $x$, поэтому $a=4$ исключаем:

Ответ: $a\in (-\infty ;-5)\cup (3;4)\cup (4;+\infty )$.