ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Запишем степени через $7^x$ и $2^x$: $49^x=7^{2x}$, $14^x=7^x\cdot 2^x$, $4^x=2^{2x}$. Перенесём всё в левую часть:

$$(a-1)\cdot 7^{2x}+(3a-23)\cdot 7^x\cdot 2^x-(4a-24)\cdot 2^{2x}=0.$$

Так как $2^{2x}>0$ при любом $x$, разделим обе части на $2^{2x}$ — получим равносильное уравнение:

$$(a-1){\left(\frac{7}{2}\right)}^{2x}+(3a-23){\left(\frac{7}{2}\right)}^x-(4a-24)=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{7}{2}\right)}^x$. Функция ${\left(\frac{7}{2}\right)}^x$ возрастает и принимает все положительные значения, поэтому каждый корень $t>0$ даёт ровно один корень $x$, а корни $t⩽0$ корней $x$ не дают. Задача свелась к такой: найти все $a$, при которых уравнение

$$(a-1)t^2+(3a-23)t-(4a-24)=0$$

имеет ровно один положительный корень.

Заметим, что $t=1$ — корень при любом $a$: $(a-1)+(3a-23)-(4a-24)=0$. Поэтому левая часть раскладывается на множители:

$$(a-1)t^2+(3a-23)t-(4a-24)=(t-1)((a-1)t+4a-24).$$

Проверим, раскрыв скобки: $(a-1)t^2+(4a-24)t-(a-1)t-(4a-24)=(a-1)t^2+(3a-23)t-(4a-24)$.

Итак, уравнение равносильно совокупности $t=1$ или $(a-1)t=24-4a$. Корень $t=1>0$ есть всегда (он даёт $x=0$). Значит, нужно, чтобы уравнение $(a-1)t=24-4a$ не имело положительных корней, отличных от $1$.

Случай $a=1$. Уравнение $0\cdot t=20$ корней не имеет. Положительный корень один: $t=1$. Значение подходит.

Случай $a\ne 1$. Второй корень $t_2=\frac{24-4a}{a-1}$. Подходят два варианта: $t_2⩽0$ или $t_2=1$.

Условие $t_2⩽0$:

$$\frac{4(6-a)}{a-1}⩽0\iff \frac{a-6}{a-1}⩾0.$$

Решим методом интервалов: нуль числителя $6$ закрашиваем, нуль знаменателя $1$ выкалываем.

Получаем $a<1$ или $a⩾6$.

Условие $t_2=1$: $24-4a=a-1$, откуда $a=5$. Тогда оба корня равны $1$, и положительный корень один.

Объединим все найденные значения:

Ответ: $a\in (-\infty ;1]\cup \{5\}\cup [6;+\infty )$.