ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Равенство $\sqrt{u}=\sqrt{v}$ выполняется тогда и только тогда, когда $u=v$ и $u⩾0$: арифметический квадратный корень определён для неотрицательных чисел, и разные неотрицательные числа имеют разные корни. Второе подкоренное выражение равно первому, поэтому отдельно требовать его неотрицательность не нужно.

Преобразуем равенство подкоренных выражений:

$$a\sin x+\cos x=a\cos x+\sin x\iff (a-1)\sin x-(a-1)\cos x=0\iff (a-1)(\sin x-\cos x)=0.$$

Значит, уравнение имеет решения на отрезке тогда и только тогда, когда имеет решения система

$$\{\begin{array}{l}(a-1)(\sin x-\cos x)=0,\\ a\sin x+\cos x⩾0,\\ \frac{3\pi }{4}⩽x⩽\frac{7\pi }{4}.\end{array}$$

Случай $a=1$. Первое уравнение выполняется при любом $x$, остаётся условие $\sin x+\cos x⩾0$. При $x=\frac{3\pi }{4}$ имеем $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0⩾0$, то есть $x=\frac{3\pi }{4}$ — решение (обе части уравнения равны нулю). Значение $a=1$ подходит.

Случай $a\ne 1$. Разделим первое уравнение на $a-1\ne 0$: $\sin x=\cos x$. Если бы $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1\ne 0$, поэтому $\cos x\ne 0$ и на него можно разделить:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Отберём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right]$:

$$\frac{3\pi }{4}⩽\frac{\pi }{4}+\pi k⩽\frac{7\pi }{4}\iff \frac{1}{2}⩽k⩽\frac{3}{2}\iff k=1.$$

На отрезке лежит единственное число $x=\frac{5\pi }{4}$. Оно должно удовлетворять условию $a\sin x+\cos x⩾0$. Так как $\sin \frac{5\pi }{4}=\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}⩾0\iff -\frac{\sqrt{2}}{2}(a+1)⩾0\iff a⩽-1.$$

Значит, при $a\ne 1$ решения на отрезке есть только при $a⩽-1$.

Объединяем случаи.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1]\cup \{1\}$.