ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$, $y$). Поэтому первое уравнение задаёт пару прямых

$${\ell }_1:x+ay=5,{\ell }_2:x+ay=5a,$$

и система равносильна совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+ay=5,\\ x^2+y^2=16,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x+ay=5a,\\ x^2+y^2=16.\end{array}\end{array}$$

Второе уравнение задаёт окружность с центром $O(0;0)$ и радиусом $4$.

У прямых ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$ одинаковые коэффициенты при $x$ и $y$, поэтому они параллельны или совпадают. Совпадают они при $5=5a$, то есть при $a=1$. Тогда остаётся одна прямая, а прямая пересекает окружность не более чем в двух точках — четырёх решений нет. Дальше $a\ne 1$.

При $a\ne 1$ прямые параллельны и различны, общих точек у них нет. Каждая прямая имеет с окружностью не больше двух общих точек, поэтому четыре решения будут тогда и только тогда, когда каждая прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра $O$ до каждой прямой меньше радиуса $4$.

Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно

$$\rho =\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Для прямой ${\ell }_1$ ($x+ay-5=0$):

$${\rho }_1=\frac{5}{\sqrt{1+a^2}}<4\iff 25<16\left(1+a^2\right)\iff a^2>\frac{9}{16}\iff |a|>\frac{3}{4}.$$

Для прямой ${\ell }_2$ ($x+ay-5a=0$):

$${\rho }_2=\frac{5|a|}{\sqrt{1+a^2}}<4\iff 25a^2<16\left(1+a^2\right)\iff a^2<\frac{16}{9}\iff |a|<\frac{4}{3}.$$

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход.

Получаем $\frac{3}{4}<|a|<\frac{4}{3}$ и $a\ne 1$:

Ответ: $a\in \left(-\frac{4}{3};-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{3}{4};1\right)\cup \left(1;\frac{4}{3}\right)$.