Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (|x+a²|+|x-1|)²-8(|x+a²|+|x-1|)-a²+17=0 имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль средняя 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$(x + a^{2} + ∣ x - 1∣)^{2} - 8 (x + a^{2} + ∣ x - 1∣) - a^{2} + 17 = 0$

имеет ровно два различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Сделаем замену

$t = x + a^{2} + ∣ x - 1∣.$

Уравнение принимает вид

$t^{2} - 8 t - a^{2} + 17 = 0.$

Выясним, сколько корней $x$ даёт каждое значение $t$ . Нули подмодульных выражений: $x = - a^{2}$ и $x = 1$ . Так как $- a^{2} ⩽ 0 < 1$ , при любом $a$ точка $- a^{2}$ лежит левее точки $1$ .

Рисунок к решению

Раскроем модули на трёх промежутках.

Если $x ⩽ - a^{2}$ , то $t = - x - a^{2} - x + 1 = 1 - a^{2} - 2 x$ . Эта функция убывает и в точке $x = - a^{2}$ равна $1 + a^{2}$ .

Если $- a^{2} < x < 1$ , то $t = x + a^{2} - x + 1 = 1 + a^{2}$ — постоянная.

Если $x ⩾ 1$ , то $t = x + a^{2} + x - 1 = 2 x - 1 + a^{2}$ . Эта функция возрастает и в точке $x = 1$ равна $1 + a^{2}$ .

Рисунок к решению

Обозначим $m = 1 + a^{2}$ . Из графика видно:

если $t_{0} > m$ , уравнение $x + a^{2} + ∣ x - 1∣ = t_{0}$ имеет ровно два корня — по одному на каждом из лучей;
если $t_{0} = m$ , корней бесконечно много — весь отрезок $[- a^{2}; 1]$ ;
если $t_{0} < m$ , корней нет.

Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$ , так как $t$ — функция от $x$ . Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение $t^{2} - 8 t - a^{2} + 17 = 0$ имеет ровно один корень, больший $m$ , и не имеет корня, равного $m$ . Возможны два случая:

уравнение имеет два корня, и $t_{1} < m < t_{2}$ ;
уравнение имеет один корень $t_{0}$ , и $t_{0} > m$ .

Пусть $f (t) = t^{2} - 8 t - a^{2} + 17$ . Ветви параболы направлены вверх.

Рисунок к решению

Случай 1. Число $m$ лежит строго между корнями тогда и только тогда, когда $f (m) < 0$ ; при этом корней автоматически два. Вычислим:

$f (1 + a^{2}) = (1 + a^{2})^{2} - 8 (1 + a^{2}) - a^{2} + 17 = a^{4} + 2 a^{2} + 1 - 8 - 8 a^{2} - a^{2} + 17 = a^{4} - 7 a^{2} + 10.$

Разложим на множители как квадратный трёхчлен относительно $a^{2}$ (корни $2$ и $5$ по теореме, обратной теореме Виета):

$(a^{2} - 2) (a^{2} - 5) < 0 \Leftrightarrow (a - 2) (a + 2) (a - 5) (a + 5) < 0.$

Метод интервалов

Получаем $a \in (- 5; - 2) \cup (2; 5)$ .

Случай 2. Корень один, когда дискриминант равен нулю:

$\frac{D}{4} = 16 - (17 - a^{2}) = a^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \pm 1.$

Тогда корень $t_{0} = 4$ , а $m = 1 + 1 = 2 < 4$ . Условие выполнено, оба значения $a = \pm 1$ подходят. Например, уравнение $∣ x + 1∣ + ∣ x - 1∣ = 4$ имеет ровно два корня $x = \pm 2$ .

Объединяем случаи.

Ответ: $a \in (- 5; - 2) \cup {- 1; 1} \cup (2; 5)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19