ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Будем рассматривать уравнение как уравнение с двумя переменными $x$ и $a$ и изобразим множество его решений на координатной плоскости $(x;a)$. При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы точек этого множества на горизонтальной прямой на высоте $a$.

Раскроем модуль.

Если $7x+a⩾0$, уравнение принимает вид

$$x^2+a^2+x-7a=7x+a\iff x^2-6x+a^2-8a=0\iff (x-3{)}^2+(a-4{)}^2=25.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $Q_1(3;4)$ и радиусом $5$.

Если $7x+a<0$, уравнение принимает вид

$$x^2+a^2+x-7a=-7x-a\iff x^2+8x+a^2-6a=0\iff (x+4{)}^2+(a-3{)}^2=25.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $Q_2(-4;3)$ и радиусом $5$.

Значит, множество решений состоит из части окружности ${\omega }_1$, лежащей в полуплоскости $7x+a⩾0$, и части окружности ${\omega }_2$, лежащей в полуплоскости $7x+a<0$. Эти части лежат в разных полуплоскостях и общих точек не имеют.

Найдём точки пересечения окружностей с прямой $a=-7x$. Для ${\omega }_1$:

$$(x-3{)}^2+(-7x-4{)}^2=25\iff 50x^2+50x=0\iff x(x+1)=0.$$

Для ${\omega }_2$:

$$(x+4{)}^2+(-7x-3{)}^2=25\iff 50x^2+50x=0\iff x(x+1)=0.$$

Обе окружности проходят через точки $O(0;0)$ и $P(-1;7)$ прямой $a=-7x$.

Центр $Q_1$ лежит в полуплоскости $7x+a>0$ ($21+4=25>0$), поэтому в эту полуплоскость попадает большая из двух дуг ${\omega }_1$ с концами $O$ и $P$. Центр $Q_2$ лежит в полуплоскости $7x+a<0$ ($-28+3=-25<0$), поэтому туда попадает большая дуга ${\omega }_2$ (без концов $O$ и $P$ — они уже принадлежат первой дуге). Множество решений — две большие дуги, соединённые в точках $O$ и $P$.

Посчитаем, сколько точек каждой дуги лежит на прямой $a=c$.

Дуга окружности ${\omega }_1$. Прямая $a=c$ пересекает ${\omega }_1$ при $|c-4|⩽5$, то есть при $-1⩽c⩽9$, в точках с абсциссами $x=3\pm \sqrt{25-(c-4{)}^2}$. Для правой точки $x⩾3$, поэтому $7x+c⩾21-1>0$ — она всегда лежит на дуге. Левая точка $x_L(c)=3-\sqrt{25-(c-4{)}^2}$ пробегает левую полуокружность снизу вверх: от $(3;-1)$ через $O$, самую левую точку $(-2;4)$ и $P$ до $(3;9)$. Выражение $7x_L(c)+c$ меняется непрерывно и обращается в ноль только в точках $O$ и $P$, то есть при $c=0$ и $c=7$. При $c=4$ оно равно $-14+4<0$, при $c=-1$ и $c=9$ оно положительно. Поэтому левая точка лежит на дуге при $-1⩽c⩽0$ и при $7⩽c⩽9$ и не лежит при $0<c<7$.

Дуга окружности ${\omega }_2$. Прямая $a=c$ пересекает ${\omega }_2$ при $-2⩽c⩽8$ в точках $x=-4\pm \sqrt{25-(c-3{)}^2}$. Для левой точки $x⩽-4$, поэтому $7x+c⩽-28+8<0$ — она всегда на дуге. Правая точка $x_R(c)=-4+\sqrt{25-(c-3{)}^2}$ пробегает правую полуокружность от $(-4;-2)$ через $O$, самую правую точку $(1;3)$ и $P$ до $(-4;8)$. Выражение $7x_R(c)+c$ обращается в ноль только при $c=0$ и $c=7$, при $c=3$ оно равно $7+3>0$, при $c=-2$ и $c=8$ отрицательно. Поэтому правая точка лежит на дуге при $-2⩽c<0$ и при $7<c⩽8$ и не лежит при $0⩽c⩽7$.

Учтём, что при $c=-1$ и $c=9$ две точки ${\omega }_1$ сливаются в одну, а при $c=-2$ и $c=8$ сливаются две точки ${\omega }_2$. Сведём подсчёт в таблицу:

$$\begin{array}{cccc}a& \text{дуга }{\omega }_1& \text{дуга }{\omega }_2& \text{всего корней}\\ a<-2& 0& 0& 0\\ a=-2& 0& 1& 1\\ -2<a<-1& 0& 2& 2\\ a=-1& 1& 2& 3\\ -1<a<0& 2& 2& 4\\ a=0& 2& 1& 3\\ 0<a<7& 1& 1& 2\\ a=7& 2& 1& 3\\ 7<a<8& 2& 2& 4\\ a=8& 2& 1& 3\\ 8<a<9& 2& 0& 2\\ a=9& 1& 0& 1\\ a>9& 0& 0& 0\end{array}$$

На рисунке по вертикальной оси отложено $a$. Жирные линии — множество решений, пунктирные дуги — отброшенные части окружностей, тонкая прямая — $a=-7x$, горизонтальные пунктирные прямые — граничные положения $a=-2$, $a=-1$, $a=7$, $a=8$, $a=9$ (положение $a=0$ совпадает с осью абсцисс).

Больше двух корней уравнение имеет при $-1⩽a⩽0$ и при $7⩽a⩽8$.

Ответ: $a\in [-1;0]\cup [7;8]$.