ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Логарифмическая функция с основанием $11>1$ строго возрастает, поэтому ${\log }_{11}u={\log }_{11}v$ тогда и только тогда, когда $u=v$ и $u>0$ (положительность второго аргумента следует из равенства). Первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}a-y^2=a-x^2,\\ a-x^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=y^2,\\ x^2<a.\end{array}$$

Если $a⩽0$, неравенство $x^2<a$ не выполняется ни при каком $x$, и система решений не имеет. Дальше считаем $a>0$. Тогда $x^2<a$ означает $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ — это вертикальная полоса между прямыми $x=-\sqrt{a}$ и $x=\sqrt{a}$, сами прямые в неё не входят.

Уравнение $x^2=y^2$ запишем как $(y-x)(y+x)=0$: это пара прямых $y=x$ и $y=-x$, проходящих через начало координат.

Во втором уравнении выделим полные квадраты:

$$x^2-2x+1+y^2-6y+9=10\iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10.$$

Это окружность с центром $(1;3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Она проходит через начало координат, так как $(0-1{)}^2+(0-3{)}^2=10$.

Найдём точки пересечения окружности с прямой $y=x$:

$$(x-1{)}^2+(x-3{)}^2=10\iff 2x^2-8x=0\iff x(x-4)=0.$$

Получаем точки $O(0;0)$ и $B(4;4)$.

С прямой $y=-x$:

$$(x-1{)}^2+(-x-3{)}^2=10\iff 2x^2+4x=0\iff x(x+2)=0.$$

Получаем точки $O(0;0)$ и $A(-2;2)$.

Таким образом, без условия $x^2<a$ система имеет ровно три решения: $O$, $A$, $B$. Каждое из них остаётся решением, только если его абсцисса попадает в полосу $|x|<\sqrt{a}$, то есть $x^2<a$:

• точка $O$: $0<a$ — выполняется при всех рассматриваемых $a>0$;
• точка $A$: $(-2{)}^2<a$, то есть $a>4$;
• точка $B$: $4^2<a$, то есть $a>16$.

На рисунке пунктиром показаны граничные положения полосы: при $a=4$ её края — прямые $x=\pm 2$ (проходят через точку $A$), при $a=16$ — прямые $x=\pm 4$ (проходят через точку $B$). Граница в полосу не входит, поэтому точка на краю полосы решением не является.

Получаем: при $a⩽0$ решений нет; при $0<a⩽4$ одно решение $O$; при $4<a⩽16$ два решения $O$ и $A$; при $a>16$ три решения.

Ответ: $a\in (4;16]$.