ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Рассмотрим первое неравенство. Каждая скобка — сумма двух квадратов, поэтому она неотрицательна, и их произведение тоже неотрицательно. Значит, неравенство $⩽0$ выполняется только тогда, когда произведение равно нулю, то есть одна из скобок равна нулю:

$$[\begin{array}{l}(x+1{)}^2+(y+4{)}^2=0,\\ (x+3{)}^2+(y+2{)}^2=0.\end{array}$$

Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Из первого уравнения $x=-1$, $y=-4$, из второго $x=-3$, $y=-2$. Итак, первое неравенство задаёт ровно две точки: $(-1;-4)$ и $(-3;-2)$.

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда ни одна из этих точек не удовлетворяет второму неравенству. Второе неравенство задаёт круг с центром $(a-2;2a-4)$ и радиусом $2|a-2|$ (при $a=2$ — одну точку $(0;0)$), а условие означает, что обе точки лежат вне этого круга. Запишем его:

$$\{\begin{array}{l}(-1-a+2{)}^2+(-4-2a+4{)}^2>4(a-2{)}^2,\\ (-3-a+2{)}^2+(-2-2a+4{)}^2>4(a-2{)}^2.\end{array}$$

Раскроем скобки в первом неравенстве. Левая часть: $(1-a{)}^2+4a^2=5a^2-2a+1$, правая: $4a^2-16a+16$. Получаем

$$5a^2-2a+1>4a^2-16a+16\iff a^2+14a-15>0\iff (a+15)(a-1)>0.$$

Корни $-15$ и $1$ найдены по теореме, обратной теореме Виета (сумма $-14$, произведение $-15$). Решим неравенство методом интервалов:

Получаем $a<-15$ или $a>1$.

Во втором неравенстве левая часть: $(a+1{)}^2+(2-2a{)}^2=a^2+2a+1+4-8a+4a^2=5a^2-6a+5$. Получаем

$$5a^2-6a+5>4a^2-16a+16\iff a^2+10a-11>0\iff (a+11)(a-1)>0.$$

Получаем $a<-11$ или $a>1$.

Оба неравенства должны выполняться одновременно, поэтому пересечём найденные множества на одной оси:

Ответ: $a\in (-\infty ;-15)\cup (1;+\infty )$.