ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Найдём ограничения. Логарифм $\ln y$ определён при $y>0$, аргументы логарифмов во втором уравнении должны быть положительны:

$$y>0,x^4{y}^2+2a^2>0,1-a{x}^2{y}^2>0.$$

Преобразуем первое уравнение. Так как $4^{|x|}=2^{2|x|}$, а показательная функция с основанием $2$ строго монотонна, равенство степеней равносильно равенству показателей:

$$2^{\ln y}=2^{2|x|}\iff \ln y=2|x|\iff y=e^{2|x|}.$$

Условие $y>0$ при этом выполняется само.

Преобразуем второе уравнение. Запишем $1={\log }_{2}2$ и воспользуемся формулой суммы логарифмов (при $1-a{x}^2{y}^2>0$):

$${\log }_2\left(x^4{y}^2+2a^2\right)={\log }_2\left(2\left(1-a{x}^2{y}^2\right)\right).$$

Логарифмическая функция строго монотонна, поэтому это уравнение равносильно равенству аргументов при условии их положительности. Положительность левого аргумента следует из равенства, поэтому достаточно потребовать $1-a{x}^2{y}^2>0$. Система равносильна такой:

$$\{\begin{array}{l}y=e^{2|x|},\\ x^4{y}^2+2a^2=2-2a{x}^2{y}^2,\\ 1-a{x}^2{y}^2>0.\end{array}$$

Заметим, что переменная $x$ входит в систему только через $|x|$, $x^2$ и $x^4$. Поэтому если пара $(x_0;y_0)$ — решение, то пара $(-x_0;y_0)$ — тоже решение. При $x_0\ne 0$ это два разных решения. Значит, если решение единственное, то у него $x=0$. Это необходимое условие.

Найдём, при каких $a$ система имеет решение с $x=0$. Из первого уравнения $y=e^0=1$. Второе уравнение даёт $2a^2=2$, то есть $a=\pm 1$. Условие $1-0>0$ выполнено. Значит, подойти могут только $a=1$ и $a=-1$. Проверим каждое значение: нет ли при нём других решений.

Пусть $a=-1$. Второе уравнение:

$$x^4{y}^2+2=2+2x^2{y}^2\iff x^2{y}^2\left(x^2-2\right)=0.$$

Так как $y=e^{2|x|}>0$, получаем $x=0$ или $x=\pm \sqrt{2}$. Условие $1+x^2{y}^2>0$ выполнено всегда. Решения: $(0;1)$, $\left(\sqrt{2};e^{2\sqrt{2}}\right)$, $\left(-\sqrt{2};e^{2\sqrt{2}}\right)$ — их три, значение $a=-1$ не подходит.

Пусть $a=1$. Второе уравнение:

$$x^4{y}^2+2=2-2x^2{y}^2\iff x^2{y}^2\left(x^2+2\right)=0.$$

Так как $y>0$ и $x^2+2>0$, остаётся $x=0$, тогда $y=1$. Условие $1-0>0$ выполнено. Решение единственное: $(0;1)$. Значение $a=1$ подходит.

Ответ: $a=1$.